スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場の保存電荷2


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
Q&=&\int d^3x\frac{i}{2}(\phi^*\pi^*-\pi\phi)\\
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big[(E_{\bf{q}}-E_{\bf{p}})(b_{\bf{p}}a_{\bf{q}}e^{-i({\bf{p}}+{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}-a_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{q}}^\dagger e^{i({\bf{p}}+{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}})\\
&+&(E_{\bf{q}}+E_{\bf{p}})(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}e^{-i({\bf{p}}-{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}-b_{\bf{p}} b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i({\bf{p}}-{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}})\big]
\end{eqnarray}
}

「ここで、ハミルトニアンの計算と同様に、デルタ関数フーリエ積分表示の関係を使います」

デルタ関数フーリエ積分表示
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\int\frac{d^3x}{(2\pi)^3}e^{i({\bf{p}}-{\bf{q}})\cdot {\bf{x}}}=\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}}).
\end{eqnarray}
}

「すると、上式は次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
Q&=&\int d^3x\frac{i}{2}(\phi^*\pi^*-\pi\phi)\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big[(E_{\bf{q}}-E_{\bf{p}})(b_{\bf{p}}a_{\bf{q}}e^{-i(E_{\bf{q}}+E_{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}-a_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{q}}^\dagger e^{i(E_{\bf{q}}+E_{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}})(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}+{\bf{q}})\\
&+&(E_{\bf{q}}+E_{\bf{p}})(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}e^{-i(E_{\bf{q}}-E_{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}-b_{\bf{p}} b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{q}}-E_{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}})(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})\big]
\end{eqnarray}
}

「ここで、デルタ関数\delta^{(3)}({\bf{p}}+{\bf{q}})について、 {\bf{p}}=-{\bf{q}}のときのみ値が残りますが、このとき E_{\bf{q}}-E_{\bf{p}}=E_{\bf{-p}}-E_{\bf{p}}=0となります」
「どうして、 E_{\bf{p}}と、 E_{-\bf{p}}とが等しいのよ?」
 一宮が疑問を口にした。
「これは、エネルギー E_{\bf{p}}=\hbar\omega_{\bf{p}}(自然単位系では、 E_{\bf{p}}=\omega_{\bf{p}})が {\bf{p}}の絶対値の2乗で定まるためです。これは、(2.22)式の関係から導かれます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\omega_{\bf{p}}=\sqrt{\mid{\bf{p}}\mid^2+m^2}.
\end{eqnarray}
}
(2.22)

「これは、粒子の運動エネルギーが粒子の運動の向きによらず、その運動の大きさのみに依存することからも明らかだと思います。したがって、保存電荷の式は、 (E_{\bf{q}}-E_{\bf{p}})を含む項が消去され、 (E_{\bf{q}}+E_{\bf{p}})を含む項が残るため、次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
Q&=&\int d^3x\frac{i}{2}(\phi^*\pi^*-\pi\phi)\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&(E_{\bf{q}}+E_{\bf{p}})(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}e^{-i(E_{\bf{q}}-E_{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}-b_{\bf{p}} b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{q}}-E_{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}})(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})
\end{eqnarray}
}

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場の保存電荷1

「それでは、次に問題2.2cを解いてみましょう」

問題2.2c:保存電荷


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
Q&=&\int d^3x\frac{i}{2}(\phi^*\pi^*-\pi\phi)
\end{eqnarray}
}


を生成・消滅演算子の観点で書き直し、それぞれの種類の粒子の電荷を評価せよ。

「まず、上の保存電荷の式を生成・消滅演算子の観点で記述するために、上式に複素スカラー \phi, \phi^*およびその運動量密度 \pi, \pi^*の式を代入します」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi(x)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi^2)}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}+b_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}})\\
%%%
\phi^*(x)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi^2)}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}(b_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}})\\
\end{eqnarray}
}

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\pi(x)&=&-i\int\frac{d^3p}{(2\pi^2)}\frac{2E_{\bf{p}}}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}(b_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}-a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}})\\
%%%
\pi^*(x)&=&-i\int\frac{d^3p}{(2\pi^2)}\frac{2E_{\bf{p}}}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}-b_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}})\\
\end{eqnarray}
}


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
Q&=&\int d^3x\frac{i}{2}(\phi^*\pi^*-\pi\phi)\\
&=&\frac{i}{2}\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big[ (b_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}})(-2iE_{\bf{q}})(a_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}}\cdot{\bf{x}}}-b_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}}\cdot{\bf{x}}})\\
&-&(-2iE_{\bf{p}})(b_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}-a_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}})(a_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}}\cdot{\bf{x}}}+b_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}}\cdot{\bf{x}}})\big]\\
%%%
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big[E_{\bf{q}}(b_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}})(a_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}}\cdot{\bf{x}}}-b_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}}\cdot{\bf{x}}})\\
&-&E_{\bf{p}}(b_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}-a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}})(a_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}}\cdot{\bf{x}}}+b_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{q}}\cdot{\bf{x}}})\big]\\
%%%
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big[(E_{\bf{q}}-E_{\bf{p}})(b_{\bf{p}}a_{\bf{q}}e^{-i({\bf{p}}+{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}-a_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{q}}^\dagger e^{i({\bf{p}}+{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}})\\
&+&(E_{\bf{q}}+E_{\bf{p}})(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}e^{i({\bf{p}}-{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}-b_{\bf{p}} b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i({\bf{p}}-{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}})\big]
\end{eqnarray}
}

「式変形のコツとしては、それぞれ e^{-i({\bf{p}}+{\bf{q}})}, e^{i({\bf{p}}+{\bf{q}})}および e^{-i({\bf{p}}-{\bf{q}})}, e^{i({\bf{p}}-{\bf{q}})}でまとめるようにします」

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場のハミルトニアン4


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3x(\dot{\phi}^*\dot{\phi}+\nabla\phi^*\nabla\phi +m^2\phi^*\phi)\\
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}E_{\bf{p}} \big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}+b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger\big)\\
\end{eqnarray}
}

「次に、交換関係 [ b_{\bf{p}}, b_{\bf{p}}^\dagger]= b_{\bf{p}}b_{\bf{p}}^\dagger- b_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{p}}から、 b_{\bf{p}}b_{\bf{p}}^\dagger=[ b_{\bf{p}}, b_{\bf{p}}^\dagger]+ b_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{p}}となり、これを上式に代入すると、次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}E_{\bf{p}} \big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}+b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger\big) \\
%%%
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}E_{\bf{p}} \big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}+b_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{q}} +[ b_{\bf{p}}, b_{\bf{p}}^\dagger]\big).
\end{eqnarray}
}

「最後の項[ b_{\bf{p}}, b_{\bf{p}}^\dagger]は、定数、すなわち古典的なc数であり、これは真空の零点エネルギーに相当します。そこで、この定数項を無視すると、ハミルトニアン Hは結局、次のようになることがわかります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3xE_{\bf{p}} \big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}+b_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{q}}\big).
\end{eqnarray}
}

「ここで、2種類の生成・消滅演算子 a_{\bf{p}}^\dagger, a_{\bf{p}} b_{\bf{p}}^\dagger, b_{\bf{p}}に対して、共通のエネルギー E_{\bf{p}}=\sqrt{m^2+{\bf{p}^2}}および質量 mが用いられていることが分かります。これから、複素スカラー場のクライン‐ゴルドン場の理論から導かれる2種類の粒子は、同一のエネルギーEおよび質量mを有することがわかります」

複素スカラー場のクライン‐ゴルドン場の理論から導かれる2種類の粒子
(1) 同一のエネルギーEおよび質量mを有する

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場のハミルトニアン3


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big[ \big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}+m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}} e^{i(E_{\bf{p}}-E_{\bf{q}})t} +b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{p}}-E_{\bf{q}})t} \big) (2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})\\
&-&\big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}-m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{p}}+E_{\bf{q}})t} +b_{\bf{p}}a_{\bf{q}}^\dagger e^{i(E_{\bf{p}}+E_{\bf{q}})t} \big) (2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}+{\bf{q}})\big]\\
%%%
\end{eqnarray}
}

「ここで、 \delta^{(3)}({\bf{x}})は、 {\bf{x}}=0のときに \delta^{(3)}({\bf{x}})=1となり、それ以外の値では \delta^{(3)}({\bf{x}})=0となるというデルタ関数の性質から、上式の第3行目は、 \delta^{(3)}({\bf{p}}+{\bf{q}})から {\bf{p}}+{\bf{q}}=0の値のみが残ることがわかります。これから、 {\bf{p}}={-\bf{q}}の値を代入すると、第3行目のエネルギーの項は、 E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}-m^2=E_{\bf{p}}^2-{\bf{p}}^2-m^2となります」

デルタ関数の性質
{ \displaystyle
  \delta^{(3)}({\bf{x}}) = \left\{ \begin{array}{ll}
    1 & ({\bf{x}}=0) \\
    0 & ({\bf{x}}\neq0)
  \end{array} \right.
}

「一方、アインシュタインの関係式 E^2=m^2c^4+p^2c^2=\hbar^2\omega_{\bf{p}}^2 c=1, \hbar=1の自然単位系で表すと、 E^2=m^2+p^2=\omega_{\bf{p}}^2となります。これから、 E^2-p^2-m^2=0となりますが、これは上式の第3行目のエネルギーの項と同じ形をしています。したがって、上式の第3行目の項は消去でき、第2行目の項のみが残ります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3x(\dot{\phi}^*\dot{\phi}+\nabla\phi^*\nabla\phi +m^2\phi^*\phi)\\
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}+m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}} e^{i(E_{\bf{p}}-E_{\bf{q}})t} +b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{p}}-E_{\bf{q}})t} \big) (2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})
\end{eqnarray}
}

「また、デルタ関数\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})についても同様に、 {\bf{p}}={\bf{q}}のときのみ値が残ることから、この関係を上式に代入すると、次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3x(\dot{\phi}^*\dot{\phi}+\nabla\phi^*\nabla\phi +m^2\phi^*\phi)\\
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}+m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}} e^{i(E_{\bf{p}}-E_{\bf{q}})t} +b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{p}}-E_{\bf{q}})t} \big) (2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})\\
%%%
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\big(E_{\bf{p}}^2+({\bf{p}}^2+m^2)\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}+b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger\big) \\
%%%
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\big(E_{\bf{p}}^2+ E_{\bf{p}}^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}+b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger\big) \\
%%%
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}E_{\bf{p}} \big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}+b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger\big)\\
\end{eqnarray}
}

「なお、途中の式変形において、アインシュタインの関係式 E^2=p^2+m^2を用いました」

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場のハミルトニアン2

「複素スカラー場のハミルトニアンを生成・消滅演算子で表すと、下のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3x(\dot{\phi}^*\dot{\phi}+\nabla\phi^*\nabla\phi +m^2\phi^*\phi)\\
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big[ \big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}+m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}e^{i({\bf{p}}-{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}+b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i({\bf{p}}-{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}\big)\\
&-&\big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}-m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{q}}^\dagger e^{i({\bf{p}}+{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}+b_{\bf{p}}a_{\bf{q}}^\dagger e^{-i({\bf{p}}+{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}\big)\big]\\
\end{eqnarray}
}

「ここで、デルタ関数フーリエ積分表示の関係を使います」

デルタ関数フーリエ積分表示
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\int\frac{d^3x}{(2\pi)^3}e^{i({\bf{p}}-{\bf{q}})\cdot {\bf{x}}}=\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}}).
\end{eqnarray}
}

「すると、上式は次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3x(\dot{\phi}^*\dot{\phi}+\nabla\phi^*\nabla\phi +m^2\phi^*\phi)\\
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big[ \big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}+m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}e^{i({\bf{p}}-{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}+b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i({\bf{p}}-{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}\big)\\
&-&\big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}-m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{q}}^\dagger e^{i({\bf{p}}+{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}+b_{\bf{p}}a_{\bf{q}}^\dagger e^{-i({\bf{p}}+{\bf{q}})\cdot{\bf{x}}}\big)\big]\\
%%%
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big[ \big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}+m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}} e^{i(E_{\bf{p}}-E_{\bf{q}})t} +b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{p}}-E_{\bf{q}})t} \big) (2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})\\
&-&\big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}-m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i(E_{\bf{p}}+E_{\bf{q}})t} +b_{\bf{p}}a_{\bf{q}}^\dagger e^{i(E_{\bf{p}}+E_{\bf{q}})t} \big) (2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}+{\bf{q}})\big]\\
%%%
\end{eqnarray}
}

「ここで、デルタ関数は原点に対して対称なので、\delta^{(3)}(-({\bf{p}}-{\bf{q}}))=\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})等の関係があることを用いました」

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場のハミルトニアン1

「次に、ハミルトニアンHを生成・消滅演算子a_{\bf{p}}^\dagger, b_{\bf{p}}^\dagger, a_{\bf{p}}, b_{\bf{p}}に置き換えて計算してみます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{p}}^{\dagger}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big),\\
%%%
\phi^*({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\big(a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big)
\end{eqnarray}
}


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3x(\dot{\phi}^*\dot{\phi}+\nabla\phi^*\nabla\phi +m^2\phi^*\phi)\\
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big[ iE_{\bf{p}}\big(a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}-b_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big)\cdot (-iE_{\bf{q}})\big(a_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{q}}^{\dagger}e^{i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}\big)\\
&+&i{\bf{p}}\big(a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}-b_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big)\cdot (-i{\bf{q}})\big(a_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{q}}^{\dagger}e^{i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}\big)\\
&+&m^2\big(a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big)\big(a_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{q}}^{\dagger}e^{i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}\big)\big]\\
%%%
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big[ \big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}-b_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big)\big(a_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{q}}^{\dagger}e^{i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}\big)\\
&+&m^2\big(a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big)\big(a_{\bf{q}}e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}+b_{\bf{q}}^{\dagger}e^{i{\bf{q}\cdot\bf{x}}}\big)\big]\\
%%%
&=&\int d^3x\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\big[ \big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}+m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}e^{i({\bf{p}}-{\bf{q}}\cdot{\bf{x}})}+b_{\bf{p}}b_{\bf{q}}^\dagger e^{-i({\bf{p}}-{\bf{q}}\cdot{\bf{x}})}\big)\\
&-&\big(E_{\bf{p}}E_{\bf{q}}+{\bf{p}}{\bf{q}}-m^2\big)\big(a_{\bf{p}}^\dagger b_{\bf{q}}^\dagger e^{i({\bf{p}}+{\bf{q}}\cdot{\bf{x}})}+b_{\bf{p}}a_{\bf{q}}^\dagger e^{-i({\bf{p}}+{\bf{q}}\cdot{\bf{x}})}\big)\big]\\
\end{eqnarray}
}

複素スカラー場の正準交換関係の計算2

「次に、被積分関数の括弧[ ]の中の計算をしてみましょう」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]
&=&\int\frac{d^3{\bf{p}}d^3{\bf{q}}}{(2\pi)^6}\frac{i}{2}\sqrt{\frac{E_{\bf{q}}}{E_{\bf{p}}}}\\
&\times&[a_{\bf{p}}, a_{\bf{q}}^\dagger ]e^{-i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}-[a_{\bf{p}},b_{\bf{q}}]e^{-i({\bf{p}\cdot\bf{x}}+{\bf{q}\cdot\bf{y}})}+
[b_{\bf{p}}^\dagger, a_{\bf{q}}^\dagger ]e^{i({\bf{p}\cdot\bf{x}}+{\bf{q}\cdot\bf{y}})}-
[b_{\bf{p}}^\dagger, b_{\bf{q}}]e^{i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}]\\
\,\,\,
%%%
\end{eqnarray}
}

「ここで、(2.29)式と同様に、生成・消滅演算子 a_{\bf{p}}^\dagger, a_{\bf{q}}の交換関係 [a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}'}^\dagger]および生成・消滅演算子 b_{\bf{p}}^\dagger, b_{\bf{p}}の交換関係 [b_{\bf{p}}, b_{\bf{p}'}^\dagger]が次のようになるものと定義します」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}'}^\dagger]&=&(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'}).
\end{eqnarray}
}
(2.29)


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[a_{\bf{p}}, a_{\bf{q}}^\dagger]&=&[b_{\bf{p}}, b_{\bf{q}}^\dagger]
=(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}}).
\end{eqnarray}
}

「一方、生成演算子同士の交換関係および消滅演算子同士の交換関係はゼロになるものとします」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[a_{\bf{p}}, a_{\bf{q}}]&=&[b_{\bf{p}}, b_{\bf{q}}]
=[a_{\bf{p}}^\dagger, a_{\bf{q}}^\dagger]=0\\
[a_{\bf{p}}, b_{\bf{q}}]&=&[a_{\bf{p}}^\dagger, b_{\bf{q}}^\dagger]=0
\end{eqnarray}
}

「そこで、これらの関係式を上式の[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]に代入すると、次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]
&=&\int\frac{d^3{\bf{p}}d^3{\bf{q}}}{(2\pi)^6}\frac{i}{2}\sqrt{\frac{E_{\bf{q}}}{E_{\bf{p}}}}\big\{
[a_{\bf{p}}, a_{\bf{q}}^\dagger ]e^{-i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}-
[b_{\bf{p}}^\dagger, b_{\bf{q}} ]e^{i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}\big\}\\
%%%
&=&\int\frac{d^3{\bf{p}}d^3{\bf{q}}}{(2\pi)^6}\frac{i}{2}\sqrt{\frac{E_{\bf{q}}}{E_{\bf{p}}}}\big\{
(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})e^{-i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}+
(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{q}}-{\bf{p}})e^{i({\bf{p}\cdot\bf{x}}-{\bf{q}\cdot\bf{y}})}\big\}\\
%%%
&=&\int\frac{d^3{\bf{p}}}{(2\pi)^3}\frac{i}{2}\big(e^{-i{\bf{p}}({\bf{x}}-{\bf{y}})}+e^{i{\bf{p}}({\bf{x}}-{\bf{y}})}\big)\\
%%%
&=&\int\frac{d^3{\bf{p}}}{(2\pi)^3}\frac{i}{2}\big(e^{i{\bf{p}}({\bf{y}}-{\bf{x}})}+e^{i{\bf{p}}({\bf{x}}-{\bf{y}})}\big)\\
\end{eqnarray}
}

「ここで、デルタ関数フーリエ変換の関係を使います」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{i{\bf{p}(\bf{x}-\bf{y})}}
&=&\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}}).
\end{eqnarray}
}

「すると、複素スカラー場の正準交換関係の計算は結局、次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]
&=&\int\frac{d^3{\bf{p}}}{(2\pi)^3}\frac{i}{2}\big(e^{i{\bf{p}}({\bf{y}}-{\bf{x}})}+e^{i{\bf{p}}({\bf{x}}-{\bf{y}})}\big)\\
%%%
&=&\int\frac{1}{(2\pi)^3}\frac{i}{2}[(2\pi^3)\delta^{(3)}{\bf{p}}({\bf{y}}-{\bf{x}})+(2\pi^3)\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}})]\\
&=&\frac{i}{2}2\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}})\\
&=&i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}})
\end{eqnarray}
}