スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

SU(2)とは

「次に、2行2列のユニタリ行列で行列式が1であるものの全体のなす群を2次元特殊ユニタリ群といい、SU(2)と書きます」 2次元特殊ユニタリ群(SU(2))の条件 (1) 2行2列のユニタリ行列 (2) 行列式が1 「ここで、SU(2)のSは、Special(特殊)の略、Uは、Unitary…

ユニタリ変換とユニタリ行列の関係

「ところで、ユニタリ変換は、ヒルベルト空間において定義されますが、特に、ヒルベルト空間が、複素数列のベクトルで、をの複素共役として、その自乗の総和」 「からなる集合の場合、ユニタリ変換は、ユニタリ行列で表され、次のように書くことが出来ます」…

ユニタリ変換とは

「ところで、上の保存電荷(ネーター・チャージ)の式は、(は実数)として、位相変換に対して不変となることがわかります。ここで、は、一次元のユニタリ変換と見なすことができます」 「ユニタリ変換ってなによ?」 一宮が首を傾げた。 「ユニタリ変換は、…

複素スカラー場の保存電荷3

「複素スカラー場のネーター・カレントの式から、保存電荷であるネーター・チャージ(電荷)の式を導くことができます」 (2.13) 「ネーター・チャージQは、上の(2.13)式のように、ネーター・カレントの式の第0成分(時間成分)を全空間で積分した式となりま…

複素スカラー場の保存電荷2

「このラグランジアンは、を任意定数として、位相変換に対して不変となることがわかります。それゆえ、ネーターの定理から保存電流(ネーター・カレント)が存在することが分かります。そこで、(2.12)式に基づき、上のラグランジアンからネーター・カレント…

複素スカラー場の保存電荷1

「それでは次に、問題2.2dを解いてみます」 問題2.2d:同一の質量を有する2つの複素クライン‐ゴルドン場の場合を考えよ。場をとしなさい。いま、4つの保存電荷があり、1つは問題(c)の一般化によって与えられ、残りの3つは、次の式によって与えられること…

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場の保存電荷3

「次に、デルタ関数についても同様に、のときのみ値が残ることから、この関係を上式に代入すると、次のようになります」 「ここで、交換関係から、となり、これを上式に代入すると、次のようになります」 「最後の項は、定数、すなわち古典的なc数であり、ハ…

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場の保存電荷2

「ここで、ハミルトニアンの計算と同様に、デルタ関数のフーリエ積分表示の関係を使います」 デルタ関数のフーリエ積分表示 「すると、上式は次のようになります」 「ここで、デルタ関数について、のときのみ値が残りますが、このときとなります」 「どうし…

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場の保存電荷1

「それでは、次に問題2.2cを解いてみましょう」 問題2.2c:保存電荷 を生成・消滅演算子の観点で書き直し、それぞれの種類の粒子の電荷を評価せよ。 「まず、上の保存電荷の式を生成・消滅演算子の観点で記述するために、上式に複素スカラー場およびその運動…

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場のハミルトニアン4

「次に、交換関係から、となり、これを上式に代入すると、次のようになります」 「最後の項は、定数、すなわち古典的なc数であり、これは真空の零点エネルギーに相当します。そこで、この定数項を無視すると、ハミルトニアンは結局、次のようになることがわ…

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場のハミルトニアン3

「ここで、は、のときにとなり、それ以外の値ではとなるというデルタ関数の性質から、上式の第3行目は、からの値のみが残ることがわかります。これから、の値を代入すると、第3行目のエネルギーの項は、となります」 デルタ関数の性質 「一方、アインシュタ…

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場のハミルトニアン2

「複素スカラー場のハミルトニアンを生成・消滅演算子で表すと、下のようになります」 「ここで、デルタ関数のフーリエ積分表示の関係を使います」 デルタ関数のフーリエ積分表示 「すると、上式は次のようになります」 「ここで、デルタ関数は原点に対して…

生成・消滅演算子で表した複素スカラー場のハミルトニアン1

「次に、ハミルトニアンを生成・消滅演算子に置き換えて計算してみます」

複素スカラー場の正準交換関係の計算2

「次に、被積分関数の括弧[ ]の中の計算をしてみましょう」 「ここで、(2.29)式と同様に、生成・消滅演算子の交換関係および生成・消滅演算子の交換関係が次のようになるものと定義します」 (2.29) 「一方、生成演算子同士の交換関係および消滅演算子同士の…

複素スカラー場の正準交換関係の計算1

「ここで、の正準交換関係に上式を代入し、の関係を用いると、次のようになります」 「次に、上式の括弧[ ]内を計算していきます」

複素スカラー場の共役運動量密度

「次は、問題2.2bです」 問題2.2b: 生成・消滅演算子を導入することによって、ハミルトニアンを対角化せよ。また、この理論が質量の2組の粒子を含むことを示せ。 「以前、クライン-ゴルドン場をフーリエ展開して、生成演算子と消滅演算子で表しました」 (2…

複素スカラー場のハミルトニアン

「次に、ハミルトニアンは、下の(2.5)式を用いて導くことができます」 (2.5) 「具体的には、(2.5)式の運動量に相当するのが共役運動量密度であるため、これを代入します」 「上の式に、前回導いたラグランジアンを代入します」 「ここで、の関係に注意すると…

複素スカラー場の共役運動量密度と正準交換関係

「次に、上のラグランジアンから場の共役運動量密度を導いてみましょう。一般に、共役運動量密度は次のように書くことができます」 「また、上のラグランジアンを、とに分けて考えると、次のようになります」 「それゆえ、上のラグランジアンの第1項をで微…

複素スカラー場の作用とラグランジアン

問題2.2 「問題2.1を解いたので、次は問題2.2を解きましょう。問題2.2では、クライン‐ゴルドン場に従う複素数値のスカラー場の場の理論について考えてみます。この理論の作用は、次のようになります」 「基本的な力学変数として、場の実数部分と虚数部分を考…

エネルギー・運動量テンソルの式から電磁気の運動量密度の式の導出

「次に、運動量密度の関係式を求めてみましょう。場によって運ばれる(物理的な)運動量は、次の(2.19)式のように表せることは以前お話しました」 (2.19) 「そこで、エネルギー・運動量テンソルにおいて、添字とした場合の計算をしてみましょう」 「上の1行…

テンソルの添字の上げ下げと符号の関係

「でも、なんでの上付き添字を下付き添字にすると、のように符号がマイナスからプラスに反転するのよ?」 一宮が訊ねた。 「通常、の上付き添字を下付き添字にするには、計量テンソルをかける必要がありますが、ミンコフスキー空間の計量テンソルの場合、添…

エネルギー・運動量テンソルの式から電磁気エネルギーの式の導出3

「次に、レヴィ=チヴィタ記号の積には、次のような性質があることが知られています」 「この性質を用いると、最初の式は次のようになります」 「それゆえ、ラグランジアン密度は、次のようになります」 「このラグランジアン密度をエネルギー・運動量テンソ…

エネルギー・運動量テンソルの式から電磁気エネルギーの式の導出2

「ところで、ラグランジアン密度は、次のように表せたことを思い出してください」 「そこで、の添字をおよびに展開してみます」 「次に、添字をおよびに展開します」 「上式2行目から3行目への変形において、からの関係を用いました。また、の関係を用いた…

エネルギー・運動量テンソルの式から電磁気エネルギーの式の導出

「最後に、エネルギー・運動量テンソルの式から電磁気エネルギーの標準式を導いてみます」 「ここで、エネルギー・運動量テンソルのうち、時間変換に関係した保存チャージは、ハミルトニアン、すなわちエネルギーとなることを思い出してください」 (2.18) 「…

エネルギー・運動量テンソルを対称的にする方法3

「上のエネルギー・運動量テンソルの式において、添字を入れ替えた式が対称的となっているか調べてみましょう」 「ここで、およびの関係を用いました。次に、各項の添字を上げ下げします。それには、各項に計量テンソルをかけます」 「ちょっと、勝手に計量…

エネルギー・運動量テンソルを対称的にする方法2

「次に、上のようにエネルギー・運動量テンソルにを加えて定義しなおしたは、としたとき、対称的なエネルギー・運動量テンソルTを生じ、電磁気のエネルギーおよび運動量密度の標準形式を生じることを示したいと思います」 「ここで、第2項は添字に対して明…

エネルギー・運動量テンソルを対称的にする方法

「次に、計量テンソルを用いて、エネルギー・運動量テンソルの添字を上付きにします」 「ここで問題なのは、通常の手続きでは、対称テンソルを導くことができないという点です。実際、上のエネルギー・運動量テンソルは、添字の入れ替えに対して対称的ではあ…

クライン‐ゴルドン粒子のエネルギー・運動量テンソル

問題2.1b「次に、問題2.1bを解いてみます。問題2.1bは、クライン‐ゴルドン理論のためのエネルギー・運動量テンソルを構築しろとのことです。そこで、以前導いたエネルギー・運動量テンソルの式を見てみましょう」 (2.17) 「ここで、オイラー・ラグランジュ方…

レヴィ=チヴィタの完全反対称テンソルとは

「次に、とした場合の上の運動方程式の具体的な形を見てみます」 「ここで、およびとすると、上の運動方程式は次のようになります」 「って何よ?」 「は、レヴィ=チヴィタの完全反対称テンソルと呼ばれ、次のように定義されます」 「がの順の組み合わせから…

オイラー・ラグランジュ方程式からガウスの法則の導出

「次に、とした場合の上の運動方程式の具体的な形を見てみましょう」 「から、であり、また、から、上の運動方程式は次のようになります」 「これは、電荷密度がないときのガウスの法則に他なりません」 電荷密度がないときのガウスの法則:

オイラー・ラグランジュ方程式からマクスウェル方程式の導出4

「ここで、から、添字を入れ替えたとき」 「となって、は、添字の入れ替えに対して反対称となることが分かります。この関係を用いると、オイラー・ラグランジュ方程式の左辺第1項は次のようになります」 「以上をまとめると、オイラー・ラグランジュ方程式…

オイラー・ラグランジュ方程式からマクスウェル方程式の導出3

「次に、上式の括弧内の微分を計算してみましょう」 「ここで、はクロネッカーのデルタであり、のとき1、のとき0となる関数です。つまり、上式は、微分の分母と分子の添字が全て一致している場合にのみ、値が残るということになります」 クロネッカーのデル…

オイラー・ラグランジュ方程式からマクスウェル方程式の導出2

「次に、上式第2行目の第1項目の被微分関数が上付きの添字となっていることから、この微分計算ができるように、計量テンソルをつかって添字を上付きから下付きに変えたいと思います」 ルール:上下に同じ添字が現れたとき、これらの添字が打ち消しあって消…

テンソルの添字を上げ下げする方法

「次に、上式の左辺第1項を計算してみましょう」 「上のラグランジアン密度を上式の左辺第1項の大括弧()内に代入してみます」 「上の計算において、1行目から2行目の変形に積の微分法則を用いました。また、上式第2行目の第1項目の被微分関数が上付…

オイラー・ラグランジュ方程式からマクスウェル方程式の導出1

「上のラグランジアン密度を場の運動を表すオイラー・ラグランジュ方程式に代入することで、運動方程式を導くことができます」 オイラー・ラグランジュ方程式(場の方程式) (2.3) 「ただし、ここでは場の代わりに、要素を力学変数として扱います」 「ここで…

古典的な電磁気のラグラジアン密度

問題2.1「次に、テキストの演習問題を解いてみましょう。(源のない)古典的電磁気学は、以下の作用から導かれます」 「問題aとして、この作用のオイラー・ラグランジュ方程式としてマクスウェル方程式を導いてみましょう。ここで、ラグランジアン密度の作用…

クライン‐ゴルドン場の生成粒子数

(2.65) 「上の結果は、がモードの粒子を生成する確率密度と考えることによって、粒子の観点から解釈することができます」 :モードの粒子を生成する確率密度 「どうして確率密度にエネルギーが入っているのよ?」 一宮が訊ねる。 「これは、ローレンツ不変性…

ソースフィールドが作用した後のハミルトニアン

(2.64) 「ここで、が作用した後のハミルトニアンの形式を推測(または計算)することができます。ハミルトニアンは生成・消滅演算子で、次の(2.31)式のように表せることは以前お話しました」 (2.31) 「ここで、自然単位系ではからであり、また、第2項の零点…

遅延グリーン関数を用いた運動方程式の解の変形

(2.63) 「上式において、場の全てが過去にいくまで十分に待ったとき、階段関数は1になるため、を代入します。また、のフーリエ変換の式」 「を用いて、(2.63)式を変形してみます」 「ここで、は、のエルミート共役(Hermitian conjugate)をとったものです」…

4次元運動量と質量の関係式

(2.63) 「次に、のすべてが十分過去になるまで待ったとします。このとき、関数は、積分の全区間において1に等しくなるため、は、のフーリエ変換のみに関係します」 「上式は、となる4元運動量で評価されます」 「どうして、となるのよ? 運動量と質量が同じ…

遅延グリーン関数を用いた運動方程式の解2

「ちょっと待って!」 突然、一宮が待ったをかけた。 「そもそもどうして、(2.63)式の第1行目の式が成り立つのよ?」 (2.63) 「(2.63)式の第1行目ですが」と越野さんは言った。 「これは、(2.63)式の両辺に左側からを作用させることによって確認することが…

遅延グリーン関数を用いた運動方程式の解

「源である場がある場合、運動方程式の解は、遅延グリーン関数を用いて構成することができます」 (2.63) 「(2.63)式の第1行目から第2行目への変形は、(2.55)式と(2.54)式を代入することで簡単に導くことができます」 (2.55) (2.54)

古典的な源による粒子生成

「次に、外部の古典的な源である場と結合したクライン‐ゴルドン場を考えてみます。すなわち、次の(2.61)式のような場の方程式を考えてみましょう」 (2.61) 「ここで、は、有限の時間間隔でのみゼロとならない時空間の既知の関数とします。(2.61)式の場の方程…

クライン‐ゴルドン粒子のファインマンプロパゲーターとは

「(2.59)式と(2.60)式は、実用的な観点から、この章の最も重要な結果と考えることもできます」 (2.59) (2.60) 「は、伝播振幅を有することから、クライン‐ゴルドン粒子のファインマンプロパゲーター(伝播関数)と呼ばれます」 :クライン‐ゴルドン粒子のフ…

時間順序積とは

「次に、(2.60)式について考察してみます」 (2.60) 「(2.60)式の最後の行は、第2行目の2項を1項にまとめたもので、Tは、『時間順序(time-ordering)積』のTを表しています。このTは、左側の項が最も新しい時間になるように演算子を配置することを表しま…

クライン‐ゴルドン演算子のグリーン関数の導出

「それでは、具体的にを計算してみます」 (2.59) 「のとき、についての積分で積分経路を下から近づけることによって、(2.54)式を導いたのと同様の手順で、(2.50)式のを得ることができます」 (2.50) 「一方、のときは、についての積分で積分経路を上から近づ…

ファインマン処方を導入する理由

「ところで、そもそもなんでファインマン処方なんてものを導入したのよ?」 一宮がじろりと越野さんを睨み付けた。 「え? ファインマン処方を導入した理由ですか? そうですね……ファンマン処方がない場合、下図のように実軸上に極が位置するため、積分経路…

ファインマン処方の極の計算

(2.59) 「それじゃ、実際に上式の極を計算で確かめてみましょう。極は、上式の分母がゼロとなる条件から求めることができます」 「ここで、4元運動量の内積の定義を用いると、は次のように変形することができます」 4元運動量の内積 「それゆえ、極を求め…

ファインマン処方とは

「第4章では、極を別のやり方で処方することがとても有用です。このような処方は、ファインマン処方(Feynman prescription)と呼ばれます」 「ファインマン処方? ちょっと! このテキストには、『Feynman(ファインマン)』じゃなくて、『Feynmarc(ファイ…

p0積分の積分経路の4つのパターン

「次に、上式をについて変形すると、次のようになります」 「このようにして得られたの式をフーリエ変換すると、次の(2.58)式が得られます」 (2.58) 「(2.58)式の積分は、4つの異なる積分経路によって評価されます。それら4つの積分経路のうち、(2.54)式で…