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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

自然単位系とは

俺は一宮に問題の説明をした。


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「この図1.1は、運動量の電子 e^+ と、運動量p’陽電子 e^-とが真っ正面から衝突して対消滅した後、電子 e^- の進行方向と角度 \thetaだけずれた方向に運動量kのミュー粒子 \mu^-と運動量k’ \mu^+ 粒子とが対生成した後、互いに遠ざかっていく様子を表したものだ。これを式で表せば次のようになる」

俺は、部室のホワイトボードに数式を書き込んだ。

 e^+e^-\rightarrow \mu^+\mu^-

「わかったわ! 電子と陽電子対消滅した後に、ミュー粒子と反ミュー粒子が対生成されるのね!」
一宮は、宇宙の全ての真理を悟ったかのような顔つきになった。だが、こんなものはまだまだ序の口だ。お前の本当の地獄はこれからだ。

「ここで簡単のため、重心(Center of Mass)系を考えよう。すると、運動量はp’=-p、k’=-kの関係を満たすことになる。ここまでは理解できるか?」
「それくらいあたしだって分かるわよ。電子と陽電子、ミュー粒子と反ミュー粒子が、重心を中心として互いに反対方向に進むからでしょ?」
一宮は、馬鹿にするなというように、思いっきり俺を睨み付けてきた。こいつは性格は傲慢きわまりないが、頭は悪くない。

「ここで、ビームエネルギーEが電子とミュー粒子の質量よりもはるかに大きいものとしよう。すると、次の関係式が導かれる」

 |p|=|p’|=|k|=|k’|=E=E_{cm}/2

「ちょっと待って! そうして運動量とエネルギーが等しいのよ?」
一宮は、憤然と俺に突っかかってきた。

「お前は『自然単位系(natural unit)』というものを知らないのか?」
「自然単位系? なにそれ?」
俺は小さくため息をついた。

「MKS単位系などの通常の単位系では、エネルギーと運動量は、アインシュタインの関係 E^2=p^2c^2+m^2c^4を満たす。だが、自然単位系では、光速を基準として c=1とおくんだ。その結果、 E^2=p^2+m^2となって、エネルギー E、運動量 p、質量mが共通の単位を有することがわかる。そして、質量mはビームエネルギーEよりもずっと小さいと仮定したから、 E^2=p^2+m^2\approx p^2となって、 E=|p|、すなわち、エネルギーEと運動量|p|とが等しいという結論が得られるんだ」


自然単位系(natural unit)
プランク定数 \hbar=1、光速 c=1とおく

「なんでそんなまだろっこしいことをするのよ?」
素粒子物理学では、プランク定数 \hbarや光速のcがやたらに出てくるから、 \hbarやcを1とすることで式が簡単になるんだ」

俺が説明すると、一宮はふんと鼻を鳴らした。
「ほんと小細工もいいところ。自然単位系なんて小手先のテクニックを考えた男はきっと『●玉』も小さいに違いないわ!」

未来の女子高生から、

金●が小さい

などと面と向かっていわれたら、量子力学の父マックス・プランクもさぞかし嘆くにちがいない。