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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

デルタ関数の平面波展開

「ところで、デルタ関数 \delta(x)は、次のように積分であらわすことができることが知られています」

 \delta(x)=\int\frac{1}{2\pi}e^{ikx}dk

「ここで、e^{ikx}は、平面波(波面が平面の波)をあらわします。実際、オイラーの公式 e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}を用いると、 e^{ikx}=\cos{kx}+i\sin{kx}と書くことができ、波数kで振動する波(正弦波)であることがわかります」

オイラーの公式 e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}
 ↓
平面波: e^{ikx}=\cos{kx}+i\sin{kx}

「それゆえ、デルタ関数 \delta(x)は、さまざまな波数kで振動する波(正弦波)を重ね合わせたものであることがわかります。

デルタ関数は、さまざまな波数kで振動する波(正弦波)を重ね合わせたものに等しい
 \delta(x)=\int\frac{1}{2\pi}(\cos{kx}+i\sin{kx})dk

「ここで、波数(はすう)とは、『波の数』という文字から分かるように、単位長さの間に繰り返される波の数をあらわします」

波数:単位長さの間に繰り返される波の数

「それゆえ、波の山の位置を原点( x=0)に合わせて、波数kが異なる波を重ね合わせると、下図のように、原点( x=0)では、どの波も山となって強め合いますが、それ以外の場所( x\neq0)では、異なる波数kをもった波の山と谷の位置がずれるため、それぞれの波の寄与が打ち消し合ってしまいます。その結果、原点( x=0)の波の寄与だけが残り、その他の場所( x\neq0)では全て0になってしまうため、最終的にデルタ関数 \delta(x)になるのです」

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原点( x=0)を中心として、波数kの異なる波を重ね合わせる
 ↓
デルタ関数 \delta(x)になる