デルタ関数の平面波展開 - スーパーサイエンスガール

「ところで、デルタ関数 $\delta(x)$ は、次のように積分であらわすことができることが知られています」

$\delta(x)=\int\frac{1}{2\pi}e^{ikx}dk$

「ここで、 $e^{ikx}$ は、平面波（波面が平面の波）をあらわします。実際、オイラーの公式 $e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$ を用いると、 $e^{ikx}=\cos{kx}+i\sin{kx}$ と書くことができ、波数kで振動する波（正弦波）であることがわかります」

オイラーの公式： $e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$
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平面波： $e^{ikx}=\cos{kx}+i\sin{kx}$

「それゆえ、デルタ関数 $\delta(x)$ は、さまざまな波数kで振動する波（正弦波）を重ね合わせたものであることがわかります。

デルタ関数は、さまざまな波数kで振動する波（正弦波）を重ね合わせたものに等しい
$\delta(x)=\int\frac{1}{2\pi}(\cos{kx}+i\sin{kx})dk$

「ここで、波数（はすう）とは、『波の数』という文字から分かるように、単位長さの間に繰り返される波の数をあらわします」

波数：単位長さの間に繰り返される波の数

「それゆえ、波の山の位置を原点（ $x=0$ ）に合わせて、波数kが異なる波を重ね合わせると、下図のように、原点（ $x=0$ ）では、どの波も山となって強め合いますが、それ以外の場所（ $x\neq0$ ）では、異なる波数kをもった波の山と谷の位置がずれるため、それぞれの波の寄与が打ち消し合ってしまいます。その結果、原点（ $x=0$ ）の波の寄与だけが残り、その他の場所（ $x\neq0$ ）では全て0になってしまうため、最終的にデルタ関数 $\delta(x)$ になるのです」

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原点（ $x=0$ ）を中心として、波数kの異なる波を重ね合わせる
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デルタ関数 $\delta(x)$ になる