デルタ関数の積分 - スーパーサイエンスガール

$\langle i\mid i\rangle=4E_{p}E_{k}V^2$

「始状態のブラケットが計算できたところで、次に、散乱をあらわすブラケットを計算してみましょう。散乱をあらわすブラケット $\langle\,f\mid \hat{S} \mid i\,\rangle$ は、散乱振幅 $M$ を使って、次のように書くことができることは、以前お話しました」

$\langle\,f\mid \hat{S} \mid i\,\rangle=(2\pi)^4C\delta^4({\bf{k}}+{\bf{k}^\prime}-{\bf{p}}-{\bf{p}^\prime})M$

「 $\delta^4({\bf{k}}+{\bf{k}^\prime}-{\bf{p}}-{\bf{p}^\prime})$ は、エネルギー（１次元）と運動量（３次元）を含む４元運動量のデルタ関数であることを示すために、 $\delta$ の頭に４という数字を付けています。また、Cは、積分したときに現れる係数をあらわします。ここで、散乱が起こる時間を $T$ 、散乱が起こる空間の体積を $V$ とすると、さきほどの始状態のブラケットの積分では、係数 $C=\frac{V}{(2\pi)^3}$ をかけました。この係数は、デルタ関数 $\delta^3(x)$ を位置xの関数として積分したときにあらわれる全空間の体積Vに、３次元の運動量空間への変換係数 $\frac{1}{(2\pi)^3}$ をかけたものです」

全空間でのデルタ関数 $\delta^3(x)$ の積分 $\langle 0\mid \delta^3(x) \mid 0\rangle=V$
　↓ 運動量（３次元）への変換係数 $\times\frac{1}{(2\pi)^3}$
全運動量空間でのデルタ関数 $\delta^3(p)$ の積分 $\langle 0\mid \delta^3(p) \mid 0\rangle=\frac{V}{(2\pi)^3}$

「一方、４元運動量のデルタ関数 $\delta^3(p)$ の積分の場合は、全時空間で積分したときにあらわれるTVに、４元運動量空間への変換係数 $\frac{1}{(2\pi)^4}$ をかけた $\frac{TV}{(2\pi)^4}$ が係数Cとなります」

全時空間でのデルタ関数 $\delta^4(x)$ の積分 $\langle 0\mid \delta^4(x) \mid 0\rangle=TV$
　↓ ４元運動量への変換係数 $\times\frac{1}{(2\pi)^4}$
全４元運動量空間でのデルタ関数 $\delta^4(p)$ の積分 $\langle 0\mid \delta^4(p) \mid 0\rangle=\frac{TV}{(2\pi)^4}$

「以上を考慮すれば、 $|\langle\,f\mid \hat{S} \mid i\,\rangle|^2$ は、次のようになります」

$|\langle\,f\mid \hat{S} \mid i\,\rangle|^2=(2\pi)^4TV\delta^4({\bf{k}}+{\bf{k}^\prime}-{\bf{p}}-{\bf{p}^\prime})|M|^2$

「したがって、散乱の微小確率 $d\Gamma$ は次のようにあらわすことができます」

散乱の微小確率： $d\Gamma =\frac{|\langle\,f\mid \hat{S} \mid i\,\rangle|^2}{\langle\,i\mid i\,\rangle}$ $\frac{d^3\bf{k}}{(2\pi)^32E_k}$ $\frac{d^3\bf{k}^\prime}{(2\pi)^32E_k^\prime} =\frac{T|M|^2}{64\pi^2V E_pE_p^\prime E_k E_k^\prime}\delta^4({\bf{k}}+{\bf{k}^\prime}-{\bf{p}}-{\bf{p}^\prime})d^3{\bf{k}} d^3{\bf{k}^\prime}$