運動量空間の極座標への変換 - スーパーサイエンスガール

散乱の微小確率： $d\Gamma=\frac{T|M|^2}{64\pi^2V E_kE_k^\prime E_p E_p^\prime}\delta(E_k+E_k^\prime-E_p-E_p^\prime)d^3{\bf{k}}$

「上の式をみると、積分変数が運動量 $d^3\bf{k}$ であるのに対し、デルタ関数がエネルギーの関数 $\delta(E_k+E_k^\prime-E_p-E_p^\prime)$ となって、積分変数と被積分変数とが一致していません。そこで、運動量の積分変数 $d^3\bf{k}$ をエネルギーの積分変数の式に変換することを考えます」

積分変数：運動量 $d^3\bf{k}$
デルタ関数：エネルギーの関数 $\delta(E_k+E_k^\prime-E_p-E_p^\prime)$
積分変数と被積分変数とが一致しない
　↓
運動量の積分変数 $d^3\bf{k}$ をエネルギーの積分変数の式に変換する

「具体的な方法としては、電子 $e^-$ 、陽電子 $e^+$ のエネルギー $E_k, E_k^\prime$ が、それぞれアインシュタインの関係 $E_k=(|{\bf{k}}|^2+m^{2})^{\frac{1}{2}}, E_k^\prime=(|{\bf{k}}|^2+m^{\prime 2})^{\frac{1}{2}}$ を満たすことを利用します」

アインシュタインの関係
電子 $e^-$ のエネルギー $E_k=(|{\bf{k}}|^2+m^{2})^{\frac{1}{2}},$
陽電子 $e^+$ のエネルギー $E_k^\prime=(|{\bf{k}}|^2+m^{\prime 2})^{\frac{1}{2}}$

「そこで、エネルギーと運動量との間の関係を求めるために、電子 $e^-$ と陽電子 $e^-$ のエネルギーの和 $E_k+E_k^\prime$ を、電子 $e^-$ の運動量の大きさ $|\bf{k}|$ で微分した式を考えてみます」

電子 $e^-$ と陽電子 $e^-$ のエネルギーの和 $E_k+E_k^\prime=(|{\bf{k}}|^2+m^{2})^{\frac{1}{2}}+(|{\bf{k}}|^2+m^{\prime 2})^{\frac{1}{2}}$ を、電子 $e^-$ の運動量の大きさ $|{\bf{k}}|$ で微分する

計算）　　　　　　
$\begin{eqnarray} E_k+E_k^\prime&=&(|{\bf{k}}|^2+m^{2})^{\frac{1}{2}}+(|{\bf{k}}|^2+m^{\prime 2})^{\frac{1}{2}}\\ \frac{d(E_k+E_k^\prime)}{d|{\bf{k}}|}&=&\frac{1}{2}\cdot\frac{2|{\bf{k}}|}{(|{\bf{k}}|^2+m^{2})^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2|{\bf{k}}|}{(|{\bf{k}}|^2+m^{\prime 2})^{\frac{1}{2}}}\\ &=&\bigg(\frac{1}{E_k}+\frac{1}{E_k^\prime}\bigg) |\bf{k}|\\ &=&\frac{E_k+E_k^\prime}{E_kE_k^\prime}|{\bf{k}}|\\ \end{eqnarray}$
$\therefore d(E_k+E_k^\prime)= \frac{E_k+E_k^\prime}{E_kE_k^\prime}|{\bf{k}}|d|{\bf{k}}|$