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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

4元ベクトルとは

 M\sim\langle\mu^+\mu^- \mid H_I\mid\gamma\rangle^\mu\langle\gamma\mid H_I\mid e^+e^-\rangle_\mu (1.3)

「この隅っこに付いている\muは、なによ?」
 一宮が尋ねる。
\muは、相対論的な4元ベクトルをあらわす添え字。相対論では、1次元の時間成分と3次元の空間成分とを区別せず、時空間を一体のものと考えるから、時間の座標 tと空間の座標 x, y, zをひとまとめにして次のようにあらわす」

 x^\mu=(ct, x, y, z)

「4元ベクトル x^\muは4次元空間上の1点をさす」

f:id:Dreistein:20141108054553p:plain

「右下に \muの添え字が付く場合は、時間成分の符号が反転した4元ベクトルをあらわし、これを共変ベクトル(convariant vector)と呼ぶ」

 x_\mu=(-ct, x, y, z)

「また、共変ベクトル(convariant vector x_\muと区別するため、 x^\muを反変ベクトル(cotravariant vector)と呼ぶ」

反変ベクトル x^\mu=(ct, x, y, z)
共変ベクトル x_\mu=(-ct, x, y, z)

「そして、反変ベクトル a^\muと共変ベクトル b_\muをかけ合わせた a^\mu b_\muは、4元ベクトルの内積に対応し、 a^\mu b_\mu=a^1b_1+a^2b_2+a^3b_3+a^4b_4とかける」

4元ベクトルの内積 a^\mu b_\mu=a^1b_1+a^2b_2+a^3b_3+a^4b_4

「4元ベクトルの内積は、ローレンツ変換に対して不変だから、上の遷移振幅 Mローレンツ不変量となる」