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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

スピンを考慮した2粒子系の全散乱断面積

 M(RL\rightarrow RL)=-e^2(1+\cos{\theta})
 M(RL\rightarrow LR)=-e^2(1-\cos{\theta})
 M(LR\rightarrow RL)=-e^2(1-\cos{\theta})
 M(LR\rightarrow LR)=-e^2(1+\cos{\theta})

「これらの式から、 |M|^2は次のようになる」

 |M|^2=e^4(1+\cos{\theta})^2+e^4(1-\cos{\theta})^2=e^4(1+\cos^2{\theta})

「この |M|^2を(1.1)式に代入すると、スピンを考慮した2粒子系の散乱の微分断面積が求められる」

散乱の微分断面積:
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\frac{d\sigma}{d\Omega}&=&\frac{1}{64\pi^2E_{\rm cm}^2}\cdot|M|^2
&=&\frac{e^4}{64\pi^2E_{\rm cm}^2}(1+\cos^2{\theta})
&=&\frac{\alpha^2}{4E_{\rm cm}^2}(1+\cos^2{\theta}) \,(1.8)
\end{eqnarray}
}

「ここで、 \alpha=e^2/4\pi\simeq1/137(自然単位系では素電荷e=0.30282212 \alphaは微細構造定数と呼ばれる)とした。上の式を角度変数 \theta \phiについて積分すると、全散乱断面積 \sigma_{\rm total}は、次のように求められる」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\sigma_{\rm total}&=&\int{\rm d}\sigma\\
&=&\int\frac{{\rm d}\sigma}{{\rm d}\Omega}{\rm d}\Omega\\
&=&\int_0^{2\pi}{\rm d}\phi\int_0^\pi\frac{{\rm d}\sigma}{{\rm d}\Omega}\sin{\theta}{\rm d}\theta\\
&=&2\pi\int_0^\pi\frac{{\rm d}\sigma}{{\rm d}\Omega}\sin{\theta}{\rm d}\theta\\
&=&\frac{\pi\alpha^2}{2E_{\rm cm}^2}\int_0^\pi(1+\cos^2{\theta})\sin{\theta}{\rm d}\theta\\
&=&-\frac{\pi\alpha^2}{2E_{\rm cm}^2}\int_0^\pi(1+\cos^2{\theta}){\rm d}\cos{\theta} \\
&=&-\frac{\pi\alpha^2}{2E_{\rm cm}^2}\bigg[\cos{\theta}+\frac{1}{3}\cos^3{\theta}\bigg]_0^\pi\\
&=&-\frac{\pi\alpha^2}{2E_{\rm cm}^2}\bigg(-2 -\frac{2}{3}\bigg)\\
&=&\frac{4\pi\alpha^2}{3E_{\rm cm}^2}\\
\end{eqnarray}
}

「なお、途中で積分計算を簡単にするため、 {\rm d}\cos{\theta}=-\sin{\theta}{\rm d}\thetaの関係式を用いた。したがって、スピンを考慮した2粒子系の全散乱断面積 \sigma_{\rm total}は、次のようになる」


{ \displaystyle
\sigma_{\rm total}=\frac{4\pi\alpha^2}{3E_{\rm cm}^2}\, (1.9)
}