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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

自由粒子の振幅

「それでは、今度こそ、本当に第2章に入ります」
 越野さんは、一宮がまた変な質問をするのではないかと、ビクビクしながらときどき一宮の様子をうかがっていた。
 だが、一宮はさっきの敗北に懲り懲りしたのか、椅子に座って大人しくしていた。シャープペンシルを机の上に立てて、どれだけ長い間持続するか挑戦する、暇な遊びをしている。
「さきほどもお話したように、摂動論においては高次の次数になればなるほど、たくさんの『仮想』粒子が生成されます。このような多粒子状態は、因果律の観点からも必要であることがわかります」
「多粒子状態と因果律が何の関係があるんだ?」
 俺が疑問を口にすると、越野さんは微笑みながら視線を返してきた。
「相対論においては、1粒子状態の運動のみを考えると、いろいろな矛盾が生じてしまうのです」
「矛盾?」
「それを考えるために、位置 \bf{x_0}から位置 \bf{x}に伝搬する自由粒子の振幅 U(t)について考えてみましょう」
 そういって、越野さんはホワイトボードに数式を書き込んだ。

{ \displaystyle
U(t)=\langle \bf{x}\mid e^{-iHt} \mid \bf{x}_0\rangle
}

自由粒子とは、電場や磁場などの場に束縛されず、自由に運動する粒子のことをいいます」

自由粒子:電場や磁場などの場に束縛されず、自由に運動する粒子

「ブラケットは、右から左に読んでいくというルールは学びましたよね。上式において、ケットベクトル \mid \bf{x}_0\rangleは、粒子の始状態(開始位置\bf{x}_0)をあらわし、ブラベクトル \langle \bf{x} \midは、粒子の終状態(到達位置 \bf{x})をあらわします」

ブラケットの読み方(右から左に読んでいく)
 \langle終状態 \mid作用 \mid始状態 \rangle

「ブラケットの中の関数 e^{-iHt}は、時間tとともに周期的に振動する関数をあらわします。その振動状態は、ハミルトニアンHに依存し、ハミルトニアンHは、一般化座標であらわした粒子のエネルギーに相当します。したがって、関数 e^{-iHt}は、粒子の振動状態が粒子のエネルギーによって異なることをあらわします。関数 e^{-iHt}複素数なので、そのままではイメージするのが難しいのですが、実数部分のみを考えると、下のようなイメージとなります」

f:id:Dreistein:20141213080659p:plain

「結局、 \langle \bf{x}\mid e^{-iHt} \mid \bf{x}_0\rangleは、粒子がエネルギー状態に依存した振動をしながら、始状態 \bf{x}_0から終状態 \bf{x}に伝播するときの振幅をあらわします。そして、この式の2乗をとった \mid \langle \bf{x}\mid e^{-iHt} \mid \bf{x}_0\rangle\mid^2が、粒子が始状態 \bf{x}_0から終状態 \bf{x}に伝播する確率をあらわすわけです」

 \langle \bf{x}\mid e^{-iHt} \mid \bf{x}_0\rangle:粒子が始状態 \bf{x}_0から終状態 \bf{x}に伝播するときの振幅
 \mid \langle \bf{x}\mid e^{-iHt} \mid \bf{x}_0\rangle\mid^2:粒子が始状態 \bf{x}_0から終状態 \bf{x}に伝播する確率