自由粒子の振幅 - スーパーサイエンスガール

「それでは、今度こそ、本当に第２章に入ります」
　越野さんは、一宮がまた変な質問をするのではないかと、ビクビクしながらときどき一宮の様子をうかがっていた。
　だが、一宮はさっきの敗北に懲り懲りしたのか、椅子に座って大人しくしていた。シャープペンシルを机の上に立てて、どれだけ長い間持続するか挑戦する、暇な遊びをしている。
「さきほどもお話したように、摂動論においては高次の次数になればなるほど、たくさんの『仮想』粒子が生成されます。このような多粒子状態は、因果律の観点からも必要であることがわかります」
「多粒子状態と因果律が何の関係があるんだ？」
　俺が疑問を口にすると、越野さんは微笑みながら視線を返してきた。
「相対論においては、１粒子状態の運動のみを考えると、いろいろな矛盾が生じてしまうのです」
「矛盾？」
「それを考えるために、位置 $\bf{x_0}$ から位置 $\bf{x}$ に伝搬する自由粒子の振幅 $U(t)$ について考えてみましょう」
　そういって、越野さんはホワイトボードに数式を書き込んだ。

${ \displaystyle U(t)=\langle \bf{x}\mid e^{-iHt} \mid \bf{x}_0\rangle }$

「自由粒子とは、電場や磁場などの場に束縛されず、自由に運動する粒子のことをいいます」

自由粒子：電場や磁場などの場に束縛されず、自由に運動する粒子

「ブラケットは、右から左に読んでいくというルールは学びましたよね。上式において、ケットベクトル $\mid \bf{x}_0\rangle$ は、粒子の始状態（開始位置 $\bf{x}_0$ ）をあらわし、ブラベクトル $\langle \bf{x} \mid$ は、粒子の終状態（到達位置 $\bf{x}$ ）をあらわします」

ブラケットの読み方（右から左に読んでいく）
$\langle$ 終状態 $\mid$ 作用 $\mid$ 始状態 $\rangle$

「ブラケットの中の関数 $e^{-iHt}$ は、時間tとともに周期的に振動する関数をあらわします。その振動状態は、ハミルトニアンHに依存し、ハミルトニアンHは、一般化座標であらわした粒子のエネルギーに相当します。したがって、関数 $e^{-iHt}$ は、粒子の振動状態が粒子のエネルギーによって異なることをあらわします。関数 $e^{-iHt}$ は複素数なので、そのままではイメージするのが難しいのですが、実数部分のみを考えると、下のようなイメージとなります」

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「結局、 $\langle \bf{x}\mid e^{-iHt} \mid \bf{x}_0\rangle$ は、粒子がエネルギー状態に依存した振動をしながら、始状態 $\bf{x}_0$ から終状態 $\bf{x}$ に伝播するときの振幅をあらわします。そして、この式の２乗をとった $\mid \langle \bf{x}\mid e^{-iHt} \mid \bf{x}_0\rangle\mid^2$ が、粒子が始状態 $\bf{x}_0$ から終状態 $\bf{x}$ に伝播する確率をあらわすわけです」

$\langle \bf{x}\mid e^{-iHt} \mid \bf{x}_0\rangle$ ：粒子が始状態 $\bf{x}_0$ から終状態 $\bf{x}$ に伝播するときの振幅
$\mid \langle \bf{x}\mid e^{-iHt} \mid \bf{x}_0\rangle\mid^2$ ：粒子が始状態 $\bf{x}_0$ から終状態 $\bf{x}$ に伝播する確率