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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

非相対論的な粒子の振幅

積分による完備関係式、 1=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\mid\bf{p}\rangle\langle\bf{p}\midを用いると、ケットベクトル \mid {\bf{x}}_0\rangleは、次のように、運動量空間の正規直交系 \mid\bf{p}\rangleで展開できます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
U(t)&=&\langle \bf{x}\mid e^{-i(\bf{p}^2/2m)t} \mid {\bf{x}}_0\rangle\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\langle \bf{x}\mid e^{-i(\bf{p}^2/2m)t} \mid\bf{p}\rangle\langle\bf{p}\mid {\bf{x}}_0\rangle\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{-i(\bf{p}^2/2m)t} \langle \bf{x}\mid\bf{p}\rangle\langle\bf{p}\mid {\bf{x}}_0\rangle
\end{eqnarray}
}

「展開の結果、 \langle{\bf{x}}\mid{\bf{p}}\rangleという式があらわれますが、これはx-表示からp-表示への変換関数と呼ばれます」

 \langle{{\bf{x}}}\mid{\bf{p}}\rangle:x-表示からp-表示への変換関数

「ここで、 \langle{\bf{x}}\mid{\bf{p}}\rangleの物理的な意味を考えてみましょう。ブラケットを右から左に読むルールに従って考えると、 \langle{\bf{x}}\mid{\bf{p}}\rangleは、始状態 \mid{\bf{p}}\rangleを前提として、終状態 \mid{\bf{x}}\rangleを見出す確率振幅を意味することがわかります。これから \langle{\bf{x}}\mid{\bf{p}}\rangleは、固有値 {\bf{p}}の運動量固有状態において、位置 {\bf{x}}に粒子を見出す確率振幅とみなすことができます」

 \langle{\bf{x}}\mid{\bf{p}}\rangle固有値 {\bf{p}}の運動量固有状態において、位置 {\bf{x}}に粒子を見出す確率振幅

自由粒子の場合、運動量 {\bf{p}}波動関数は、平面波 e^{i{\bf{p}}\cdot{{\bf{x}}}}であらわされ、これが固有値 {\bf{p}}の運動量固有状態において、位置 {\bf{x}}に粒子を見出す確率振幅をあらわします。それゆえ、 \langle{\bf{p}}\mid{\bf{x}}\rangleは、次のように書くことができます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\langle{\bf{x}}\mid{\bf{p}}\rangle=e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}
\end{eqnarray}
}

「また、上式の複素共役をとって \bf{x} \bf{x}_0に置き換えれば、\langle{\bf{p}}\mid{\bf{x}}_0\rangleを導くことができます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\langle{\bf{p}}\mid{\bf{x}}_0\rangle=e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}_0}
\end{eqnarray}
}

「これらの結果を用いると、非相対論的な自由粒子の振幅U(t)は結局、次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
U(t)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{-i({\bf{p}}^2/2m)t} \langle {\bf{x}}\mid{\bf{p}}\rangle\langle{\bf{p}}\mid {{\bf{x}}}_0\rangle\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{-i({\bf{p}}^2/2m)t} \cdot e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}\cdot e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}_0}\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\exp{\bigg[-i\bigg(\frac{{\bf{p}}^2}{2m}\bigg)t+i\bf{p}\cdot({\bf{x}}-{\bf{x}_0})\bigg]}\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\exp{\bigg[-\frac{it}{2m}\bigg\{{\bf{p}}^2-\frac{2m}{t}\bf{p}\cdot({\bf{x}}-{\bf{x}_0})\bigg\}\bigg]}\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\exp{\bigg[-\frac{it}{2m}\bigg\{{\bf{p}}-\frac{m}{t}\cdot({\bf{x}}-{\bf{x}_0})\bigg\}^2+\frac{mi}{2t}\cdot({\bf{x}}-{\bf{x}_0})^2\bigg]}\\
&=&\int\frac{d^3p^\prime}{(2\pi)^3}e^{-\frac{it}{2m}{p}^{\prime 2}}e^{im(\bf{x}-\bf{x_0})^2/2t}\,\,\,\bigg({\bf{p}}^\prime={\bf{p}}-\frac{m}{t}\cdot({\bf{x}}-{\bf{x}_0})\bigg)\\
&=&\frac{1}{(2\pi)^3}\bigg(\frac{2m\pi}{it}\bigg) ^{3/2}e^{im(\bf{x}-\bf{x_0})^2/2t}\\
&=&\bigg(\frac{m}{2\pi it}\bigg)^{3/2}e^{im(\bf{x}-\bf{x_0})^2/2t}
\end{eqnarray}
}

「なお、上式の末尾から3〜2行目の {p}^\prime積分には、 p^{\prime 2}=p_x^{\prime 2}+p_y^{\prime 2}+p_z^{\prime 2}の関係を用いて、指数関数の積分 \int dp^\prime e^{-\alpha p^{\prime 2}}=\int dp_x^\prime e^{p_x^{-\alpha\prime 2}}\cdot\int dp_y^\prime e^{p_y^{-\alpha\prime 2}}\cdot\int dp_z^\prime e^{p_z^{-\alpha\prime 2}}と分離してから、以下のガウス積分の公式を用いました」

ガウス積分の公式
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha x^2}dx=\bigg(\frac{\pi}{\alpha}\bigg)^{1/2}
\end{eqnarray}
}

「ここで、指数関数 e^{i\theta}が、下図のように複素平面上の単位円上の1点であらわせることを考慮すれば、非相対論的な粒子の振幅U(t)は、あらゆる位置xと時間tに対して0でないことがわかります」

f:id:Dreistein:20141214090218p:plain

「そして、テキストによれば、あらゆる位置xと時間tに対して粒子の振幅U(t)が0でないということは、粒子がどんな2点 x_0, x間も任意の時間で伝搬しうることを示しているとのことです」

非相対論的な粒子の振幅U(t)は、あらゆる位置xと時間tに対して0でない
 ↓
粒子は、どんな2点 x_0, x間も任意の時間で伝搬しうる