非相対論的な粒子の振幅 - スーパーサイエンスガール

「積分による完備関係式、 $1=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\mid\bf{p}\rangle\langle\bf{p}\mid$ を用いると、ケットベクトル $\mid {\bf{x}}_0\rangle$ は、次のように、運動量空間の正規直交系 $\mid\bf{p}\rangle$ で展開できます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} U(t)&=&\langle \bf{x}\mid e^{-i(\bf{p}^2/2m)t} \mid {\bf{x}}_0\rangle\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\langle \bf{x}\mid e^{-i(\bf{p}^2/2m)t} \mid\bf{p}\rangle\langle\bf{p}\mid {\bf{x}}_0\rangle\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{-i(\bf{p}^2/2m)t} \langle \bf{x}\mid\bf{p}\rangle\langle\bf{p}\mid {\bf{x}}_0\rangle \end{eqnarray} }$

「展開の結果、 $\langle{\bf{x}}\mid{\bf{p}}\rangle$ という式があらわれますが、これはx-表示からp-表示への変換関数と呼ばれます」

$\langle{{\bf{x}}}\mid{\bf{p}}\rangle$ ：x-表示からp-表示への変換関数

「ここで、 $\langle{\bf{x}}\mid{\bf{p}}\rangle$ の物理的な意味を考えてみましょう。ブラケットを右から左に読むルールに従って考えると、 $\langle{\bf{x}}\mid{\bf{p}}\rangle$ は、始状態 $\mid{\bf{p}}\rangle$ を前提として、終状態 $\mid{\bf{x}}\rangle$ を見出す確率振幅を意味することがわかります。これから $\langle{\bf{x}}\mid{\bf{p}}\rangle$ は、固有値 ${\bf{p}}$ の運動量固有状態において、位置 ${\bf{x}}$ に粒子を見出す確率振幅とみなすことができます」

$\langle{\bf{x}}\mid{\bf{p}}\rangle$ ：固有値 ${\bf{p}}$ の運動量固有状態において、位置 ${\bf{x}}$ に粒子を見出す確率振幅

「自由粒子の場合、運動量 ${\bf{p}}$ の波動関数は、平面波 $e^{i{\bf{p}}\cdot{{\bf{x}}}}$ であらわされ、これが固有値 ${\bf{p}}$ の運動量固有状態において、位置 ${\bf{x}}$ に粒子を見出す確率振幅をあらわします。それゆえ、 $\langle{\bf{p}}\mid{\bf{x}}\rangle$ は、次のように書くことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \langle{\bf{x}}\mid{\bf{p}}\rangle=e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}} \end{eqnarray} }$

「また、上式の複素共役をとって $\bf{x}$ を $\bf{x}_0$ に置き換えれば、 $\langle{\bf{p}}\mid{\bf{x}}_0\rangle$ を導くことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \langle{\bf{p}}\mid{\bf{x}}_0\rangle=e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}_0} \end{eqnarray} }$

「これらの結果を用いると、非相対論的な自由粒子の振幅U(t)は結局、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} U(t)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{-i({\bf{p}}^2/2m)t} \langle {\bf{x}}\mid{\bf{p}}\rangle\langle{\bf{p}}\mid {{\bf{x}}}_0\rangle\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{-i({\bf{p}}^2/2m)t} \cdot e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}\cdot e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}_0}\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\exp{\bigg[-i\bigg(\frac{{\bf{p}}^2}{2m}\bigg)t+i\bf{p}\cdot({\bf{x}}-{\bf{x}_0})\bigg]}\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\exp{\bigg[-\frac{it}{2m}\bigg\{{\bf{p}}^2-\frac{2m}{t}\bf{p}\cdot({\bf{x}}-{\bf{x}_0})\bigg\}\bigg]}\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\exp{\bigg[-\frac{it}{2m}\bigg\{{\bf{p}}-\frac{m}{t}\cdot({\bf{x}}-{\bf{x}_0})\bigg\}^2+\frac{mi}{2t}\cdot({\bf{x}}-{\bf{x}_0})^2\bigg]}\\ &=&\int\frac{d^3p^\prime}{(2\pi)^3}e^{-\frac{it}{2m}{p}^{\prime 2}}e^{im(\bf{x}-\bf{x_0})^2/2t}\,\,\,\bigg({\bf{p}}^\prime={\bf{p}}-\frac{m}{t}\cdot({\bf{x}}-{\bf{x}_0})\bigg)\\ &=&\frac{1}{(2\pi)^3}\bigg(\frac{2m\pi}{it}\bigg) ^{3/2}e^{im(\bf{x}-\bf{x_0})^2/2t}\\ &=&\bigg(\frac{m}{2\pi it}\bigg)^{3/2}e^{im(\bf{x}-\bf{x_0})^2/2t} \end{eqnarray} }$

「なお、上式の末尾から３〜２行目の ${p}^\prime$ の積分には、 $p^{\prime 2}=p_x^{\prime 2}+p_y^{\prime 2}+p_z^{\prime 2}$ の関係を用いて、指数関数の積分を $\int dp^\prime e^{-\alpha p^{\prime 2}}=\int dp_x^\prime e^{p_x^{-\alpha\prime 2}}\cdot\int dp_y^\prime e^{p_y^{-\alpha\prime 2}}\cdot\int dp_z^\prime e^{p_z^{-\alpha\prime 2}}$ と分離してから、以下のガウス積分の公式を用いました」