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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

相対論的な粒子の確率振幅

「次は、相対論的な粒子の確率振幅について考えてみます。相対論的な粒子のエネルギーは、アインシュタインの関係式から E=\sqrt{p^2+m^2}の形にかけるので、この値をハミルトニアンに代入すると、次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
U(t)&=&\langle \bf{x}\mid e^{-it\sqrt{p^2+m^2}} \mid \bf{x}_0\rangle\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\langle \bf{x}\mid e^{-it\sqrt{p^2+m^2}} \mid\bf{p}\rangle\langle\bf{p}\mid \bf{x}_0\rangle\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{-it\sqrt{p^2+m^2}}  \langle {\bf{x}}\mid{\bf{p}}\rangle\langle{\bf{p}}\mid {{\bf{x}}}_0\rangle\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{-it\sqrt{p^2+m^2}}  \cdot e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}\cdot e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}_0}\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{-it\sqrt{p^2+m^2}}  \cdot e^{i{\bf{p}}\cdot{(\bf{x}-\bf{x}_0)}}\\
\end{eqnarray}
}

「ここで、1行目から2行目の式変形には、積分による完備関係式 1=\int d^3p \frac{1 }{(2\pi)^3}\mid\bf{p}\rangle\langle\bf{p}\midを用い、また、3行目から4行目の式変形には、x-表示からp-表示への変換関数を用いました。次に、体積積分を計算するために、極座標系への積分変換を行います」

極座標系への積分変換
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\int d^3r&=&\int_0^\infty dr\int_0^\pi rd\theta \int_0^{2\pi} r\sin{\theta} d\phi\\
&=&\int_0^\infty r^2dr\int_0^\pi \sin{\theta}d\theta \int_0^{2\pi}  d\phi\\
&=&2\pi\int_0^\infty r^2dr\int_0^\pi \sin{\theta}d\theta\\
\end{eqnarray}
}

極座標(球座標)系は、下図に示すように、原点Oから外側に伸びる動径方向の長さrと、水平方向の偏角\phiと、垂直方向の偏角\thetaによって、表されます」

f:id:Dreistein:20141220075719p:plain

「上図に示すように、動径方向の長さ、水平方向の偏角、垂直方向の偏角の微小な長さは、それぞれ dr, r\sin{\theta}d\phi, rd\thetaで表されるので、これらについて、振幅U(t)を積分します。また、内積{\bf{p}}\cdot({\bf{x}}-{\bf{x}}_0)p|{\bf{x}}-{\bf{x}}_0|\cos{\theta}と表されることに注意すると、振幅U(t)の積分は次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
U(t)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{-it\sqrt{p^2+m^2}}  \cdot e^{i{\bf{p}}\cdot{(\bf{x}-\bf{x}_0)}}\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{-it\sqrt{p^2+m^2}} \cdot e^{ip|{\bf{x}}-{\bf{x}}_0|\cos{\theta}}\\
&=&\frac{1}{(2\pi)^2}\int_0^\infty dp\, pe^{-it\sqrt{p^2+m^2}}\int_0^\pi d\theta\, e^{ip\mid {\bf{x}}-{\bf{x}}_0\mid\cos{\theta}}\sin{\theta}\\
\end{eqnarray}
}

「ここで、 \xi=\cos{\theta} \xiギリシャ文字で『グザイ』または『グジー』と呼びます)とおくと、 \frac{d\xi}{d\theta}=-\sin{\theta}となるため、 \cos{\theta}\rightarrow \xi, \sin{\theta}d\theta\rightarrow -d\xiと置き換えると、 \theta積分は、次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\int_0^\pi d\theta\, e^{ip\mid {\bf{x}}-{\bf{x}}_0\mid\cos{\theta}}\sin{\theta}
&=&-\int_1^{-1} d\xi\, e^{ip\mid {\bf{x}}-{\bf{x}}_0\mid\xi}\\
&=&\int_{-1}^{1} d\xi\, e^{ip\mid {\bf{x}}-{\bf{x}}_0\mid\xi}\\
&=&\frac{1}{ip|{\bf{x}}-{\bf{x}}_0|}\bigg[e^{ip\mid {\bf{x}}-{\bf{x}}_0\mid\xi}\bigg]_{-1}^1\\
&=&\frac{1}{ip|{\bf{x}}-{\bf{x}}_0|}\big(e^{ip\mid {\bf{x}}-{\bf{x}}_0\mid}-e^{-ip\mid {\bf{x}}-{\bf{x}}_0\mid}\big)\\
&=&\frac{2}{p|{\bf{x}}-{\bf{x}}_0|}\sin{(p|{\bf{x}}-{\bf{x}}_0|)}\\
\end{eqnarray}
}

「なお、最後の式変形には、オイラーの公式 \sin{z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}を用いました」

オイラーの公式
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\sin{z}&=&\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}
\end{eqnarray}
}

「したがって、相対論的な粒子の確率振幅U(t)は、次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
U(t)&=&\frac{1}{2\pi^2{|\bf{x}}-{\bf{x}}_0|}\int_0^\infty dp\, p\sin{(p|{\bf{x}}-{\bf{x}}_0|)}e^{-it\sqrt{p^2+m^2}}\\
\end{eqnarray}
}