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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

ガウスの発散定理とは

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
0&=&\delta S\\
&=&\int d^4x\bigg\{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\delta\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta(\partial_\mu\phi)\bigg\}
\end{eqnarray}
}
(2.2)

「ここで、(2.2)式において、微分の公式 \partial_\mu(fg)=(\partial_\mu f)g+f(\partial_\mu g)を用います。この公式は、fgの積の変化は、 gを固定してfのみを変化させた場合と、fを固定してgのみを変化させた場合の和に相当することを意味します。ここで、 f=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}, g=\delta\phiとおくと、次の式が得られます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\partial_\mu\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta\phi\bigg)
&=&\partial_\mu\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\bigg)\delta\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}(\partial_\mu\delta\phi)\\
\therefore\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}(\partial_\mu\delta\phi)
&=&-\partial_\mu\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\bigg)\delta\phi+\partial_\mu\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta\phi\bigg)
\end{eqnarray}
}

「この関係を用いると、(2.2)式は次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
0&=&\delta S\\
&=&\int d^4x\bigg\{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\delta\phi-\partial_\mu\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\bigg)\delta\phi+\partial_\mu\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta\phi\bigg)\bigg\} 
\end{eqnarray}
}
(2.2)

「テキストによれば、最後の項は、積分の4次元時空領域の境界上の面積分に変えることができるとのことです」

「なんで面積分に変えられるのよ?」
 一宮が腑に落ちないような顔でいった。
「たぶん、ガウスの発散定理を用いているのではないかと思います。ベクトル場 \bf{A}に対して、任意の閉曲面Sに囲まれた領域Vの体積要素をdv、面積要素をdS、Sの外向き法線方向の単位ベクトルを \bf{n}としたとき、 \bf{A} \bf{n}方向の成分 A_n=\bf{A}\cdot\bf{n}について、次の関係が成り立つことが知られています。これをガウスの発散定理と呼びます」

ガウスの発散定理
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\int_V \mathrm{div} {\bf{A}}dv=\int_SA_ndS
\end{eqnarray}
}

ガウスの発散定理の左辺のdivは、divergence(発散)の略であり、 \mathrm{div} {\bf{A}}は、ある一点からベクトル場 \bf{A}が湧き出してくるようなイメージです。また、この値がマイナスになると、ベクトル場の吸い込みになります」

f:id:Dreistein:20150120051726p:plain

「上の図では、1つの立方体領域を考えましたが、ある空間領域が、このような微小な立方体領域からなるものと考えたとき、それぞれの立方体領域からベクトル場が湧き出してきたり、吸い込まれたりしています」

f:id:Dreistein:20150120051113p:plain

「ここで、巨大な地下施設内に無数の部屋があって、それぞれの部屋で絶えず人が出入りしているような状況を想像してみてください。この場合、地下施設全体でどれだけの人が増えたのかを知りたいとき、それぞれの部屋について人の増減をカウントする方法があります。これがガウスの発散定理の左辺の積分に相当します。一方、地下施設の上下左右前後六面の境界面において、人の出入りをモニターすれば、地下施設全体でどれだけ人が増えたかを知ることもできます。これがガウスの発散定理の右辺に相当するのです」