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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

ネーターカレントの保存の式の導出

ラグランジアンの微小変換 \alpha\Delta\mathcal{L}
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\alpha\Delta\mathcal{L}&=&\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}(\alpha\Delta\phi)+\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\bigg)\partial_\mu(\alpha\Delta\phi)
\end{eqnarray}
}

「ここで、微分には、 \partial_\mu(AB)=B(\partial_\mu A)+A(\partial_\mu B)という関係があります。これは、 ABの積の微分は、 Bを固定して A微分した場合と、 Aを固定して B微分した場合の和に等しいことを意味します」

 ABの積の微分 Bを固定して A微分 Aを固定して B微分

「この微分の関係式に A=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}, B=\Delta\phiを代入すると、次の関係式が成り立ちます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\partial_\mu\bigg(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi\bigg)
&=&\Delta\phi\partial_\mu\bigg(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\bigg)+\bigg(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\bigg)\partial_\mu\Delta\phi\\
\therefore\bigg(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\bigg)\partial_\mu\Delta\phi&=&
\partial_\mu\bigg(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi\bigg)-\partial_\mu\bigg(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\bigg)\Delta\phi\\
\end{eqnarray}
}

「この式に微小量 \alphaをかけてラグランジアンの微小変換 \alpha\Delta\mathcal{L}の式の第2項に代入すれば、(2.11)式が得られます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\alpha\Delta\mathcal{L}&=&\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}(\alpha\Delta\phi)+\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\bigg)\partial_\mu(\alpha\Delta\phi)\\
&=&\alpha\partial_\mu\bigg(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi\bigg)+\alpha\bigg[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}-\partial_\mu\bigg(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\bigg)\bigg]\Delta\phi
\end{eqnarray}
}
(2.11)

「ここで、第2項は、上にもあげたオイラーラグランジュ方程式(2.3)と同じ形なので、ゼロになります」

オイラーラグランジュ方程式
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
 \partial_\mu\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\bigg)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}&=&0
\end{eqnarray}
}
(2.3)

「ところで、 \alpha\Delta{\mathcal{L}}ラグランジアン \mathcal{L}の微小変換であり、これを以前求めた(2.10)式と比較すると、 \alpha\partial_\mu\mathcal{J}^\muに等しいことが分かります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}(x)\rightarrow\mathcal{L}(x)+\alpha\partial_\mu\mathcal{J}^\mu(x)
\end{eqnarray}
}
(2.10)

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\alpha\Delta\mathcal{L}&=&\alpha\partial_\mu\mathcal{J}^\mu=
\alpha\partial_\mu\bigg(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi\bigg)
\end{eqnarray}
}

「これを変形すると、次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\alpha\partial_\mu\bigg(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi\bigg)-\alpha\partial_\mu\mathcal{J}^\mu&=&0\\
\alpha\partial_\mu\bigg[\bigg(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi\bigg)-\mathcal{J}^\mu\bigg]&=&0
\end{eqnarray}
}

「上の式は、任意の微小量\alphaに対して成り立つため、最終的に次の式が導かれます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\partial_\mu j^\mu(x)=0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{for}\,\,\,\,\,\, j^\mu(x)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi-\mathcal{J}^\mu
\end{eqnarray}
}
(2.12)

「この結果は、 j^\mu(x)微分がゼロ、すなわち、ネーターカレント(電流) j^\mu(x)が保存されることを意味しています」