テイラー展開とは - スーパーサイエンスガール

「次に、変換 $\varphi\rightarrow e^{i\alpha}\varphi$ のもとで複素スカラー場のラグランジアン $\mathcal{L}$ が不変の場合を考えてみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}=|\partial_\mu\phi|^2-m^2|\phi|^2=(\partial^\mu\phi)^\ast(\partial_\mu\phi)-m^2\phi^\ast\phi \end{eqnarray} }$
(2.14)

「以前、場 $\varphi$ の無限小の変換は次のような形に書けることをお話しました」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi(x)\rightarrow\phi^\prime(x)=\phi(x)+\alpha\Delta\phi(x) \end{eqnarray} }$
(2.9)

「ここで、この(2.9)式と変換 $\varphi\rightarrow e^{i\alpha}\varphi$ を比較すると、(2.9)式の右辺の第２項は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \alpha\Delta\phi&=&i\alpha\phi;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\alpha\Delta\phi^*=-i\alpha\phi^* \end{eqnarray} }$
(2.15)

「ちょっと待って！　なんでそうなるのよ？」
　一宮が、訳が分からないといったように頭を振った。
「(2.9)式と変換 $\varphi\rightarrow e^{i\alpha}\varphi$ って、全然形が違うじゃない！　それなのに、なんで比較ができるのよ！」

「これはテイラー展開（Taylor expansion）を用いているためです」
「テイラー展開？」
「ある区間 $(\alpha, \beta)$ で無限回微分可能な関数f(x)は、その区間内の定点aの近傍のxにおいて、次のように展開でき、このような展開をテイラー展開（Taylor expansion）と呼びます」

テイラー展開（Taylor expansion）
${ \displaystyle \begin{eqnarray} f(x)&=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-a)^n}{n!}f^{(n)}(a)\\ &=&f(a)+f^{(1)}(a)(x-a)+\frac{1}{2!}f^{(2)}(a)(x-a)^2+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n+\cdots \end{eqnarray} }$

「ここで、 $n!$ は、『nの階乗（factorial）』と呼ばれる記号であり、 $n!=n\times (n-1)\times (n-2) \times \cdots \times 2\times 1$ のように、nから1までの積を表します。また、 $f^{(n)}(a)$ は、 $x=a$ における関数 $f$ の『n次導関数』と呼ばれる記号であり、関数 $f$ をn回微分して $x=a$ を代入した値です」

$n!$ （nの階乗（factorial））：
$n!=n\times (n-1)\times (n-2) \times \cdots \times 2\times 1$
（ただし、 $0!=1$ と定める）

$f^{(n)}(a)$ （n次導関数）：
関数 $f$ をn回微分して $x=a$ を代入した値
（ただし、 $f^{(0)}(0)=1, x^0=1$ と定める）

「特に、 $a=0$ のとき、テイラー展開は、マクローリン（Maclaurin expansion）展開と呼ばれ、次のように書くことができます」

マクローリン展開（Maclaurin expansion）
${ \displaystyle \begin{eqnarray} f(x)&=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}f^{(n)}(0)\\ &=&f(0)+f^{(1)}(0)(x)+\frac{1}{2!}f^{(2)}(0)(x)^2+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)(x)^n+\cdots \end{eqnarray} }$

「でも、どうしてテイラー展開やマクローリン展開なんてものを使うのよ？」
　一宮が首を傾げた。

「その理由を知るには、具体例を挙げるとわかりやすいです。ここで、 $f(x)=e^{ix}$ という指数関数を実際にマクローリン展開してみます。 $f^{(0)}(0)=1, 0!=1, x^0=1$ から、 $e^{ix}$ のマクローリン展開の第１項（ $n=0$ ）は１となります。また、第２項（ $n=1$ ）は $\frac{f^{(1)}(0)}{1!}(ix)$ となり、第３項（ $n=2）$ は $\frac{f^{(2)}(0)}{2!}{(ix)}^2$ となります」

$f(x)=e^{ix}$ のマクローリン展開
${ \displaystyle \begin{eqnarray} e^{ix}&=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!}{e^{x}}^{(n)}(0)\\ &=&1+\frac{f^{(1)}(0)}{1!}{ix}+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}(ix)^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}(ix)^3+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(ix)^n\\ &=&1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\cdots+\frac{(ix)^n}{n!} \end{eqnarray} }$

「このように、マクローリン展開を行うことにより、指数関数 $f(x)=e^{ix}$ を $x^{(n)}$ の関数の和で表すことができます。ここで、上の式に $x=\alpha$ を代入すると、 $\alpha$ は無限小なので、２次以上の項の寄与はとても小さくなります。これは例えば、0.01を２乗すると0.0001となり、３乗すると0.000001となって、小さな数同士をかけ算すればするほど、どんどん小さくなることからも理解できると思います」

小さな数同士をかけ算すればするほど、どんどん小さくなっていく
0.01の２乗→0.0001
0.01の３乗→0.000001
0.01の４乗→0.00000001

「それゆえ、２次以上の項の寄与を無視すると、結局、 $e^{i\alpha}\simeq1+i\alpha$ と近似することができます。このように、テイラー展開やマクローリン展開は、近似計算に役立つのです」

テイラー展開やマクローリン展開は、近似計算に役立つ

「実際、上で求めた近似式を用いると、 $\varphi\rightarrow e^{i\alpha}\varphi\simeq(1+i\alpha)\varphi=\varphi+i\alpha\varphi$ となるため、この式と(2.9)式と比較することによって、(2.15)式の関係を得ることができます。このように、数学や物理の世界では、テイラー展開やマクローリン展開を用いた近似がよく行われるので覚えておいてください」