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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

エネルギー・運動量テンソルの導出


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}&\rightarrow&\mathcal{L}+\alpha^\mu\partial_\mu\mathcal{L}=\mathcal{L}+a^\nu\partial_\mu(\delta^\mu_\nu\mathcal{L}).
\end{eqnarray}
}

「ここで、ラグランジアン \mathcal{L}の無限小の平行移動の式と、以前求めたラグランジアン \mathcal{L}の変換式(2.10)とを比較してみます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}(x)\rightarrow\mathcal{L}(x)+\alpha\partial_\mu\mathcal{J}^\mu(x)
\end{eqnarray}
}
(2.10)

「このとき、 \mathcal{J}^\mu=\mathcal{L}\delta^\mu_\nuとなって、 \mathcal{J}^\muがゼロでないことが分かります。ここで、場 \phiの無限小の平行移動の式を(2.9)式と比較します」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi(x)\rightarrow \phi(x+\alpha)=\phi(x)+a^\mu\partial_\mu\phi(x).
\end{eqnarray}
}


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi(x)\rightarrow\phi^\prime(x)=\phi(x)+\alpha\Delta\phi(x)
\end{eqnarray}
}
(2.9)

「これから、 \Delta\phi=\partial_\mu\phiであることがわかります。そこで、ネーターカレントの保存を示す(2.12)式に、上で求めた  \mathcal{J}^\mu=\mathcal{L}\delta^\mu_\nu, \Delta\phi=\partial_\mu\phiを代入します」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\partial_\mu j^\mu(x)=0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{for}\,\,\,\,\,\, j^\mu(x)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi-\mathcal{J}^\mu.
\end{eqnarray}
}
(2.12)

「その結果、 \mu=0, 1, 2, 3として、4つの保存カレントが得られます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
 j^\mu(x)&=&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi-\mathcal{J}^\mu\\
&=&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\mu\phi-\mathcal{L}\delta^\mu_\nu.
\end{eqnarray}
}

「この保存カレントを T^\mu_\nuとすると、結局次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
 T^\mu_\nu&\equiv&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\mu\phi-\mathcal{L}\delta^\mu_\nu.
\end{eqnarray}
}
(2.17)

 T^\mu_\nuは、場 \varphiのエネルギー・運動量テンソル(stress-energy tensor、energy-momentum tensor)と呼ばれ、エネルギー・運動量の流れや密度を表すテンソルです」

エネルギー・運動量テンソル(stress-energy tensor、energy-momentum tensor):
エネルギー・運動量の流れや密度を表すテンソル