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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

エネルギー・運動量テンソルの00成分

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
 T^\mu_{\,\,\nu}&\equiv&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\nu\phi-\mathcal{L}\delta^\mu_{\,\,\nu}.
\end{eqnarray}
}
(2.17)


 T^{00}:エネルギー密度
 T^{0j}:エネルギー流束の第 j成分( j=1, 2, 3
 T^{i0}:運動量の第 i成分の密度( i=1, 2, 3
 T^{ij}:運動量の第 i成分の流束の第 j成分

「エネルギー・運動量テンソルのうち、時間変換に関係した保存チャージ T^{00}は、ハミルトニアン \mathcal{H}となります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H=\int T^{00}d^3x=\int \mathcal{H}d^3 x.
\end{eqnarray}
}
(2.18)

「(2.18)式が本当に成り立つかどうかを確めるため、実際に、(2.17)式から T^{00}を計算してみます。(2.17)式に \mu=\nu=0を代入すると、次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
 T^0_{\,\,0}&=&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_0\phi)}\partial_0\phi-\mathcal{L}\delta^0_{\,\,0}
\end{eqnarray}
}

「ここで、4元ベクトルの微分演算子 \partialを次のように定義します」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\partial_\mu&=&\frac{\partial}{\partial x^\mu}=\bigg(-\frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\bigg)
\end{eqnarray}
}

「右辺の大括弧内の各成分はそれぞれ、 \mu=0, 1, 2, 3の成分を表します。これから、 \partial_0\phi=-\frac{\partial\phi}{\partial t}=-\dot{\phi}となること、また、 \delta^0_0=1であることに注意すると、 T^0_{\,\,0}は次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
 T^0_{\,\,0}&=&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\dot{\phi}-\mathcal{L}
\end{eqnarray}
}

「一方、ハミルトニアンHは、以前求めた(2.5)式に運動量密度 \pi({\bf{x}})=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}(\bf{x})}を代入すると、次のように書くことができます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3x[\pi({\bf{x}})\dot{\phi({\bf{x}})}-\mathcal{L}]\equiv\int d^3x\mathcal{H}\\
&=&\int d^3x\bigg[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}(\bf{x})}\dot{\phi({\bf{x}})}-\mathcal{L}\bigg]
\end{eqnarray}
}

「上の2つの式を見比べると、 T^0_{\,\,0}はたしかにハミルトニアン \mathcal{H}であり、 T^0_{\,\,0}はエネルギー密度に相当することがわかります」