エネルギー運動量成分の0i成分 - スーパーサイエンスガール

「次は、 $T^{0i}$ について考えてみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} T^\mu_{\,\,\nu}&\equiv&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\nu\phi-\mathcal{L}\delta^\mu_{\,\,\nu}. \end{eqnarray} }$
(2.17)

「 $T^{00}$ と同じように、上の(2.17)式に $\mu=0, \nu=i\,\,(i\neq0)$ を代入して、 $T^{0i}$ を計算してみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} T^0_{\,\,i}&=&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_0\phi)}\partial_i\phi-\mathcal{L}\delta^0_{\,\,i} \end{eqnarray} }$

「前回と同様に、４元ベクトルの微分演算子 $\partial$ を次のように定義します」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\mu&=&\frac{\partial}{\partial x^\mu}=\bigg(-\frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\bigg) \end{eqnarray} }$

「ここで、大括弧内の各成分はそれぞれ、 $\mu=0, 1, 2, 3$ の成分を表します。これから、 $\partial_0\phi=-\frac{\partial\phi}{\partial t}=-\dot{\phi}$ となること、また、 $i\neq0$ から $\delta^0_{\,\, i}=0$ であることに注意すると、 $T^0_{\,\,i}$ は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} T^0_{\,\,i}&=&-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\partial_i\phi \end{eqnarray} }$

「ここで、クライン−ゴルドン場 $\varphi(x)$ について、この量を具体的に計算してみます。クライン−ゴルドン場のラグランジアン $\mathcal{L}$ は、(2.6)式のように表されることは、以前お話ししました」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}&=&\frac{1}{2}\dot{\phi}^2-\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2\\ &=&\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2. \end{eqnarray} }$
(2.6)

「このラグランジアン $\mathcal{L}$ を上の $T^0_{\,\,i}$ の式に代入してみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} T^0_{\,\,i}&=&-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}}\partial_i\phi\\ &=&-\dot{\phi}\partial_i\phi\\ &=&-\pi\partial_i\phi \end{eqnarray} }$

「なお、最後の式で、運動量密度 $\pi(x)=\dot{\phi}(x)$ の関係式を使いました。その結果、空間変換に関連した保存チャージ $T^{0i}$ は、次の(2.19)式のようになることがわかります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} P^i=\int T^{0i}d^3x=-\int \pi\partial_i\phi d^3x, \end{eqnarray} }$
(2.19)

「なお、 $T^0_{\,\,i}$ と $T^{0i}$ は、添字 $i$ が上付きと下付きで異なりますが、これは反変成分で表すか、共変成分で表すかの違いにすぎず、本質的な違いはありません。(2.19)式は、場によって運ばれる（物理的な）運動量と解釈することができると、このテキストでは言っています」