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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

エネルギー・運動量テンソルからクライン−ゴルドン場のハミルトニアンの導出

「エネルギー・運動量テンソルのうち、時間変換に関係した保存チャージ T^{00}は、ハミルトニアン \mathcal{H}となります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H=\int T^{00}d^3x=\int \mathcal{H}d^3 x.
\end{eqnarray}
}
(2.18)

「また、エネルギー・運動量テンソル T^\mu_{\,\,\nu}は、(2.17)式のように書けます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
 T^\mu_{\,\,\nu}&\equiv&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\nu\phi-\mathcal{L}\delta^\mu_{\,\,\nu}.
\end{eqnarray}
}
(2.17)

「(2.17)式に \mu=\nu=0を代入すると、(2.18)式が次のようになることは、以前お話しました」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3x[\pi({\bf{x}})\dot{\phi({\bf{x}})}-\mathcal{L}]\equiv\int \mathcal{H}d^3x.\\
&=&\int d^3x\bigg[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}(\bf{x})}\dot{\phi({\bf{x}})}-\mathcal{L}\bigg]
\end{eqnarray}
}

「ここで、クライン−ゴルドン \varphi(x)について、上のハミルトニアン {H}を実際に計算してみます。クライン−ゴルドン \varphi(x)ラグランジアン \mathcal{L}は、(2.6)式のように表されることは以前示しました」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}&=&\frac{1}{2}\dot{\phi}^2-\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2\\
&=&\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2.
\end{eqnarray}
}

(2.6)

「(2.6)式のラグランジアン \mathcal{L}を上のハミルトニアン {H}の式に代入してみます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3x\bigg[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}(\bf{x})}\dot{\phi({\bf{x}})}-\mathcal{L}\bigg]\\
&=&\int d^3x\bigg[\dot{\phi}^2-\bigg(\frac{1}{2}\dot{\phi}^2-\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2\bigg)\bigg]\\
&=&\int d^3x\bigg[\frac{1}{2}\dot{\phi}^2+\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2\bigg]
\end{eqnarray}
}

「ここで、運動量密度 \pi(x)=\dot{\phi}(x)の関係式を使うと、結局クライン−ゴルドン \varphi(x)は次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3x\bigg[\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2\bigg].
\end{eqnarray}
}

「このように、エネルギー・運動量テンソル T^0_{\,\,0}からも、以前求めた(2.8)式のハミルトニアン \mathcal{H}を完全に再現することができます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3x\mathcal{H}=\int d^3x\bigg[\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2\bigg].
\end{eqnarray}
}
(2.8)

「それゆえ、 T^0_{\,\,0}はたしかにハミルトニアン \mathcal{H}であり、エネルギー密度に相当することがわかります」