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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

正準交換関係とは

「このテキストでは、( \varphiが古典場である)古典的な方程式から始め、一度の手続でそれを量子化します。ここで、古典的なクライン−ゴルドン方程式を量子化するため、場 \varphiと運動量密度 \pi演算子として取り扱い、適切な交換関係を課します。1以上の粒子の離散的な系では、交換関係は次のようになることを思い出してください」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[q_i, p_j]&=&i\delta_{ij}\\
[q_i, q_j]=[&p_i,& p_j]=0.
\end{eqnarray}
}

「交換関係って何よ?」
 一宮が訊ねる。
「前回、量子化とは、巨視的(マクロ)な物理量や式を微視的(ミクロ)な物理量や式に置き換えることだと説明しましたよね。ここで、巨視的(マクロ)な物理量F=F(q, p)(qは一般化座標、pは一般化運動量)を『classical number(古典的な数)』の頭文字をとって『c数』と呼び、運動量pを演算子 \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial q}に置き換えた微視的(ミクロ)な物理量 F=F\big(q, \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial q}\big)を『quantum number(量子的な数)』の頭文字をとって『q数』と呼びます」

c数(classical number。古典的な数):巨視的な物理量F=F(q(t), p(t))
 ↓ 量子化(巨視的な物理量から微視的な物理量への置き換え)
q数(quantum number。量子的な数):微視的な物理量 F=F\big(q, \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial q}\big)

「ここで、巨視的(マクロ)な物理量であるc数は、位置qと運動量pを入れ替えて引き算してもゼロになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[q, p]=qp-pq=0
\end{eqnarray}
}

「ここで、上式の左辺の角括弧の式は、『交換子(commutator)』と呼ばれ、次のように定義されます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[A, B]=AB-BA
\end{eqnarray}
}

「位置qと運動量pを入れ替えて引き算したらゼロになるって、当たり前じゃないの?」
 一宮が首を傾げた。
「一見、当たり前のように思われるのですが、微視的(ミクロ)の世界になるとそうでもないのです。実際、微視的(ミクロ)な物理量であるq数は、位置演算子 \hat{q}と運動量演算子 \hat{p}を入れ替えてもゼロにならず、 i\hbar \hbarディラック定数)というお釣りの数が出てくるのです」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[\hat{q}, \hat{p}]=\hat{q}\cdot\hat{p}-\hat{p}\cdot\hat{q}=i\hbar
\end{eqnarray}
}

「このような関係を『正準交換関係(canonical commutation relation)』と呼びます。実は、前回Schrodingerの波動方程式を導いた際に」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\hat{q}\rightarrow q, \hat{p}\rightarrow \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial q}
\end{eqnarray}
}

「という置き換えを行いましたが、この置き換えは、上の正準交換関係を満たします。そこで、上のような置き換えを一般化して、巨視的(マクロ)な物理量を正準交換関係 [\hat{q}, \hat{p}]=i\hbarを満たす(正準)演算子 \hat{q} \hat{p}に置き換えることによって量子化の手続を行うことができます」

正準交換関係 [\hat{q}, \hat{p}]=i\hbarを満たす(正準)演算子 \hat{q} \hat{p}に置き換えることで量子化ができる

「でも、どうしてお釣りの数が出てくるのよ?」
「この正準交換関係は、物理的には、Heisenbergの不確定性原理に対応しています」
「Heisenbergの不確定性原理?」
「Heisenbergの不確定性原理は、微視的(ミクロ)の世界では、粒子の位置qと運動量pを同時に決定できず、一方の量を測定すると、もう一方の量が不確定になることを表す原理です」

Heisenbergの不確定性原理
微視的(ミクロ)の世界では、粒子の位置qと運動量pを同時に決定できず、一方の量を測定すると、もう一方の量が不確定になる

「この位置qと運動量pの不確定さによって、正準交換関係で位置qと運動量pを交換して引き算してもゼロにならず、お釣りの数 i\hbarが現れるのです」