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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

n粒子状態のエネルギー

「次に、交換子 H_\textrm{SHO}, a^\daggerを計算してみます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[H_\textrm{SHO}, a^\dagger]&=&\bigg[ \omega \bigg(a^\dagger a+\frac{1}{2}\bigg), a^\dagger\bigg]\\
&=&\omega \bigg(a^\dagger a+\frac{1}{2}\bigg)a^\dagger-a^\dagger\omega \bigg(a^\dagger a+\frac{1}{2}\bigg)\\
&=&\omega a^\dagger(aa^\dagger-a^\dagger a)\\
&=&\omega a^\dagger

\end{eqnarray}
}

「ここで、最後の式において、(2.24)式の関係を用いました」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[a, a^\dagger]=1.
\end{eqnarray}
}
(2.24)

「また、交換子 H_\textrm{SHO}, aについても同様に計算します」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[H_\textrm{SHO}, a]&=&\bigg[ \omega \bigg(a^\dagger a+\frac{1}{2}\bigg), a\bigg]\\
&=&\omega \bigg(a^\dagger a+\frac{1}{2}\bigg)a-a\omega \bigg(a^\dagger a+\frac{1}{2}\bigg)\\
&=&\omega (a^\dagger a -aa^\dagger)a\\
&=&-\omega a
\end{eqnarray}
}

「以上の計算から、次の関係が得られました」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[H_\textrm{SHO}, a^\dagger]&=&\omega a^\dagger\\
[H_\textrm{SHO}, a]&=&-\omega a\\
\end{eqnarray}
}

「ここで、n粒子状態 \mid n\rangle\equiv(a^\dagger)^n\mid 0\rangleを考えてみます。これは、真空状態 \mid 0\rangleにn回生成演算子 a^\daggerを作用させて、真空からn個の粒子が生成された状態と考えることができます」

n粒子状態 \mid n\rangle\equiv(a^\dagger)^n\mid 0\rangle:真空からn個の粒子が生成された状態

「このn粒子状態 \mid n\rangle\equiv(a^\dagger)^n\mid 0\rangleの左側から、ハミルトニアン H_\textrm{SHO}を作用させてみます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H_\textrm{SHO}\mid n\rangle&=&H_\textrm{SHO}(a^\dagger)^n\mid 0\rangle
\end{eqnarray}
}

「ここで、交換関係 [H_{\textrm{SHO}}, a^\dagger]= H_{\textrm{SHO}}a^\dagger- a^\dagger H_{\textrm{SHO}}=\omega a^\daggerを用いると、次の関係が成り立ちます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H_{\textrm{SHO}}a^\dagger&=& a^\dagger H_{\textrm{SHO}}+\omega a^\dagger
\end{eqnarray}
}

「そこで、この関係式をH_\textrm{SHO}\mid n\rangleの式に次々と代入していきます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H_\textrm{SHO}\mid n\rangle&=&H_\textrm{SHO}(a^\dagger)^n\mid 0\rangle\\
&=&( a^\dagger H_{\textrm{SHO}}+\omega a^\dagger) (a^\dagger)^{n-1}\mid 0\rangle\\
&=&a^\dagger(H_{\textrm{SHO}}+\omega)(a^\dagger)^{n-1}\mid0\rangle\\
&=& a^\dagger(H_{\textrm{SHO}} \{a^\dagger)^{n-1}+\omega(a^\dagger)^{n-1}\}\mid0\rangle\\
&=& a^\dagger\{H_{\textrm{SHO}} (a^\dagger)^{n-1}+\omega(a^\dagger)^{n-1}\}\mid0\rangle\\
&=& a^\dagger[\{a^\dagger H_{\textrm{SHO}}+\omega a^\dagger)\}(a^\dagger)^{n-2}+\omega(a^\dagger)^{n-1}]\mid0\rangle\\
&=& a^\dagger[\{a^\dagger H_{\textrm{SHO}}+\omega a^\dagger)\}(a^\dagger)^{n-2}+\omega(a^\dagger)^{n-1}]\mid0\rangle\\
&=&(a^\dagger)^2(H_{\textrm{SHO}}+2\omega)(a^\dagger)^{n-2}\mid0\rangle\\
&=&(a^\dagger)^3(H_{\textrm{SHO}}+3\omega)(a^\dagger)^{n-3}\mid0\rangle\\
&=&\cdots\\
&=&(a^\dagger)^n(H_{\textrm{SHO}}+n\omega)\mid0\rangle\\
&=&(a^\dagger)^n\bigg(\frac{1}{2}\omega+n\omega\bigg)\mid0\rangle\\
&=&(a^\dagger)^n\bigg(n+\frac{1}{2} \bigg)\omega\mid0\rangle\\
&=& \bigg(n+\frac{1}{2} \bigg)\omega(a^\dagger)^n \mid0\rangle\\
&=& \bigg(n+\frac{1}{2} \bigg) \mid n\rangle\\
\end{eqnarray}
}

「ここで、 H_{\textrm{SHO}}\mid 0\rangle=\frac{1}{2}\omega(ゼロ点エネルギー)の関係式を用いました。以上の計算から、結局、ハミルトニアン H_{\textrm{SHO}}のn粒子状態 \mid n\rangleに対する固有値は、 \big(n+\frac{1}{2}\big)\omegaとなることがわかります。これから、n粒子状態のエネルギーは、真空の零点エネルギー \frac{1}{2}\omegaに、n粒子nのエネルギー n\omegaを足し合わせたものであることがわかります」

n粒子状態のエネルギー:真空の零点エネルギー \frac{1}{2}\omegaに、n粒子nのエネルギー n\omegaを足し合わせたもの