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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

クライン−ゴルドン場の交換関係の導出

「次に、(2.27)式および(2.28)式から、クライン−ゴルドン場の交換関係[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{x}})]を計算してみます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big) e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}};
\end{eqnarray}
}
(2.27)


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\pi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}(-i)\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{2}}\big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}.
\end{eqnarray}
}
(2.28)


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
&&[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{x}'})]=\phi({\bf{x}})\pi({\bf{x}'})-\pi({\bf{x}'})\phi({\bf{x}})\\
&=&\int\frac{d^3pd^3p'}{(2\pi)^6}\frac{-i}{2}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}'}}{\omega_{\bf{p}}}}
\big[\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)-\big(a_{\bf{p}'}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big) 
\big]e^{i{(\bf{p}\cdot\bf{x}+\bf{p'}\cdot\bf{x}')}}
\end{eqnarray}
}

「ここで、右辺の角括弧([ ])の中を計算してみます。生成演算子と消滅演算子a_{\bf{p}}^{\dagger},  a_{\bf{p}}の順序を入れ替えることができないことに注意して式を変形していきます。一方、生成演算子 a_{\bf{p}}^{\dagger}同士と消滅演算子 a_{\bf{p}}同士は交換可能なので、生成演算子 a_{\bf{p}}^{\dagger}同士・消滅演算子 a_{\bf{p}}同士の積からなる項は消去できます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
&&\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)-\big(a_{\bf{p}'}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big) \\
&=&a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}-a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}-\big(a_{\bf{p}'}a_{\bf{p}}+a_{\bf{p}'}a_{-\bf{p}}^{\dagger}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\\
&=&-a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}-a_{\bf{p}'}a_{-\bf{p}}^{\dagger}+a_{-\bf{p}'}^{\dagger}a_{\bf{p}}\\
&=&\big(a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}-a_{\bf{p}'}a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)-\big(a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}a_{\bf{p}}\big)\\
&=&[a_{-\bf{p}}^{\dagger}, a_{\bf{p}'}]-[a_{\bf{p}}, a_{-\bf{p}'}^{\dagger}]
\end{eqnarray}
}

「したがって、交換関係[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{x}})]は、次のように書くことができます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{x}'})]&=&\int\frac{d^3pd^3p'}{(2\pi)^6}\frac{-i}{2}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}'}}{\omega_{\bf{p}}}}
\big([a_{-\bf{p}}^{\dagger}, a_{\bf{p}'}]-[a_{\bf{p}}, a_{-\bf{p}'}^{\dagger}]
\big)e^{i{(\bf{p}\cdot\bf{x}+\bf{p'}\cdot\bf{x}')}}
\end{eqnarray}
}