読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

クライン−ゴルドン場のハミルトニアンの生成・消滅演算子による表現2


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{H}&=&\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\bigg\{-\frac{\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}{4}
\big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\\
&+&\frac{-{\bf{p}}\cdot{\bf{p}}'+m^2}{4\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}
\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}+a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\bigg\}.
\end{eqnarray}
}

「ここで、変数xについて積分してみます。変数xは、 e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}にのみ含まれ、これはデルタ関数になります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\int d^3x e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}
&=&(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}+{\bf{p}'}).
\end{eqnarray}
}

デルタ関数 \delta^{(3)}({\bf{p}}+{\bf{p}'})は、 {\bf{p}}+{\bf{p}'}=0のとき、1となり、 {\bf{p}}+{\bf{p}'}\neq0のとき0となる関数です。それゆえ、上で求めたハミルトニアン \mathcal{H} {\bf{p}'}についての積分は、{\bf{p}}+{\bf{p}'}=0、すなわち、 {\bf{p}'}=-{\bf{p}}の場合のみ残り、それ意外は0になります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{H}&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\bigg\{-\frac{\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{-\bf{p}}}}{4}
\big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{-\bf{p}}-a_{\bf{p}}^{\dagger}\big)+\frac{p^2+m^2}{4\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{-\bf{p}}}}
\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{-\bf{p}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}\big)\bigg\}.
\end{eqnarray}
}

「ここで、(2.22)式から、 \omega_{\bf{p}}=\omega_{-\bf{p}}であることが分かります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\omega_{\bf{p}}=\sqrt{\mid{\bf{p}}\mid^2+m^2}.
\end{eqnarray}
}
(2.22)

「また、アインシュタインの関係式 E^2=m^2c^4+p^2c^2=\hbar^2\omega_{\bf{p}}^2 c=1, \hbar=1の自然単位系で表すと、 E^2=m^2+p^2=\omega_{\bf{p}}^2となるため、右辺の第2項の係数の分子は p^2+m^2=\omega_{\bf{p}}^2となることがわかります。この関係式を代入すると、上のハミルトニアン \mathcal{H}は、次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{H}&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\bigg\{-\frac{\omega_{\bf{p}}}{4}
\big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{-\bf{p}}-a_{\bf{p}}^{\dagger}\big)+\frac{\omega_{\bf{p}}}{4}
\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{-\bf{p}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}\big)\bigg\}\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\cdot\frac{\omega_{\bf{p}}}{4}\bigg\{\big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}}^{\dagger}-a_{-\bf{p}}\big)+
\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\bigg\}
\end{eqnarray}
}