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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

クライン−ゴルドン場のハミルトニアンの式変形1

「生成・消滅演算子 a_{\bf{p}}^\dagger, a_{\bf{p}} {\bf{p}}にマイナスの符号がついたそもそもの経緯は、(2.25)式および(2.26)式を、(2.27)式および(2.28)式に置き換えたためだ」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big);
\end{eqnarray}
}
(2.25)


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\pi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}(-i)\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{2}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}-a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big).
\end{eqnarray}
}
(2.26)


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big) e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}};
\end{eqnarray}
}
(2.27)


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\pi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}(-i)\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{2}}\big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}.
\end{eqnarray}
}
(2.28)

「だから、マイナスの符号をプラスの符号に戻すには、上の変換の逆変換をすればいい」
 武者さんはホワイトボードの前に立って、計算を始めた。


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{H}&=&\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\bigg\{-\frac{\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}{4}
\big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\\
&+&\frac{-{\bf{p}}\cdot{\bf{p}}'+m^2}{4\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}
\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}+a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\bigg\}\\
&=&\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\bigg\{-\frac{\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}{4}
\big(a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}-a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\\
&+&\frac{-{\bf{p}}\cdot{\bf{p}}'+m^2}{4\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}
\big(a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}+a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\bigg\}.
\end{eqnarray}
}

「上の式において、例えば、a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}^{\dagger} {\bf{p}'}のマイナスの符号をプラスの符号に戻すとき、e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}} {\bf{p}'}の符号もe^{i{({\bf{p}}-{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}に変換される」


逆変換の例:
a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}^{\dagger} {\bf{p}'}のマイナスの符号をプラスの符号に戻してa_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}^{\dagger}にする
 ↓
e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}} {\bf{p}'}の符号もe^{i{({\bf{p}}-{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}に変換される

「そこで、このような符号の変換を簡単にするため、上式の各項にe^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}の係数がかかるように、式を展開する」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{H}
&=&\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}\\
&&\bigg\{-\frac{\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}{4}
\big(a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}-a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\big)\\
&+&\frac{-{\bf{p}}\cdot{\bf{p}}'+m^2}{4\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}
\big(a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\big)\bigg\}
\end{eqnarray}
}

「次に、上の規則に従って、各項の符号を逆変換すると、次のようになる」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{H}&=&\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}\\
&&\bigg\{-\frac{\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}{4}
\big(a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}-a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{({\bf{p}}-{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}-a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}e^{i{(-{\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}^{\dagger}e^{-i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\big)\\
&+&\frac{-{\bf{p}}\cdot{\bf{p}}'+m^2}{4\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}
\big(a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}^{\dagger}e^{i{({\bf{p}}-{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}e^{i{({-\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}^{\dagger}e^{-i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\big)\bigg\}\\
\end{eqnarray}
}

「あとは、各項をxについて積分すればいい」