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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

クライン−ゴルドン場のハミルトニアンの交換関係

 a_pおよび a_p^\daggerについて表現したハミルトニアンを用いると、交換関係 [H, a_{\bf{p}}^\dagger]および [H, a_{\bf{p}}]の評価が簡単になります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\bigg\{-\frac{\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}{4}
\big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\\
&+&\frac{-{\bf{p}}\cdot{\bf{p}}'+m^2}{4\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}
\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}+a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\bigg\}\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\omega_{\bf{p}}\bigg(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}+\frac{1}{2}[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}}^\dagger]\bigg).
\end{eqnarray}
}
(2.31)

「ここで、(2.31)式を用いて、交換子 [H, a_{\bf{p}}^\dagger]を計算してみます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[H, a_{\bf{p}}^\dagger]&=&H a_{\bf{p}}^\dagger- a_{\bf{p}}^\dagger H\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\omega_p\bigg\{\bigg(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}} a_{\bf{p}}^\dagger+\frac{1}{2}[ a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}}^\dagger] a_{\bf{p}}^\dagger\bigg)- \bigg(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}+a_{\bf{p}}^\dagger \frac{1}{2}[ a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}}^\dagger]\bigg)\bigg\}\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\omega_p\bigg\{a_{\bf{p}}^\dagger (a_{\bf{p}} a_{\bf{p}}^\dagger- a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}})+\bigg(\frac{1}{2}(2\pi)^3\delta^{(3)}(0) a_{\bf{p}}^\dagger-a_{\bf{p}}^\dagger \frac{1}{2}(2\pi)^3\delta^{(3)}(0)\bigg)\bigg\}\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\omega_pa_{\bf{p}}^\dagger [a_{\bf{p}},  a_{\bf{p}}^\dagger]\\
&=&\int d^3p\omega_pa_{\bf{p}}^\dagger\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}}’)\\
&=&\omega_pa_{\bf{p}}^\dagger\\
\end{eqnarray}
}

「2行目から3行目への式変形において、(2.29)式から、 [a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}}^\dagger]=2\pi^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}})=2\pi^3\delta^{(3)}(0)となることを用いました」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}'}^\dagger]&=&2\pi^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'}).
\end{eqnarray}
}
(2.29)

「また、交換子 [H, a_{\bf{p}}]についても、同様に求めることができ、結局、次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[H, a_{\bf{p}^\dagger}]=\omega_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^\dagger;\,\,\,\,\,
[H, a_{\bf{p}}]=-\omega_{\bf{p}}a_{\bf{p}}.
\end{eqnarray}
}
(2.32)