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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

クライン−ゴルドン場の全運動量演算子の計算

「ここで、調和振動子についてしたように、この理論のスペクトルを書くことができます。すべてのpに対して、 a_p\mid 0>=0となる状態 \mid 0>は、基底状態または真空状態であり、(2.31)式の無限大の定数を省略すると、エネルギーE=0となります。他のすべてのエネルギー固有状態は、生成演算子 \mid0\rangleに作用させることによって構築することができます。一般に、状態 a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}^\dagger\cdots\mid0\rangleは、エネルギーE=\omega_p+\omega_q+\cdotsをもったハミルトニアンの固有状態です。これらの状態は、スペクトルをすべて満たします」

 \mid 0>基底状態または真空状態(エネルギーE=0)
 ↓ 生成演算子を順次 \mid0\rangleに作用
状態 a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}^\dagger\cdots\mid0\rangle(エネルギーE=\omega_p+\omega_q+\cdots

ハミルトニアンのスペクトルを見出した後は、その固有状態について解釈してみましょう」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
P^i=\int T^{0i}d^3x=-\int \pi\partial_i\phi d^3x,
\end{eqnarray}
}
(2.19)

「(2.19)式から、全運動量演算子 {\bf{P}}は次のように書けます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
{\bf{P}}=-\int d^3x\pi({\bf{x}})\nabla\phi({\bf{x}})
\end{eqnarray}
}

「ここで、(2.31)式を導いたのと同様の計算から、この全運動量演算子 {\bf{P}}を計算してみます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{H}&=&\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\bigg\{-\frac{\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}{4}
\big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\\
&+&\frac{-{\bf{p}}\cdot{\bf{p}}'+m^2}{4\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}
\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}+a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\bigg\}\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\omega_{\bf{p}}\bigg(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}+\frac{1}{2}[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}}^\dagger]\bigg).
\end{eqnarray}
}
(2.31)

「具体的な方針としては、上の全運動量演算子 {\bf{P}}に(2.27)式および(2.28)式を代入します」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big) e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}};
\end{eqnarray}
}
(2.27)


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\pi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}(-i)\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{2}}\big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}.
\end{eqnarray}
}
(2.28)

「ここで、 \nabla e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}=i(p_x, p_y, p_z)e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}=i{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}となることから、(2.27)式の発散は、次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\nabla\phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{i{\bf{p}}}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big) e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}};
\end{eqnarray}
}

「これらの式を代入すると、全運動量演算子 {\bf{P}}は次のように書けます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
{\bf{P}}&=&-\int d^3x\pi({\bf{x}})\nabla\phi({\bf{x}})\\
&=&-\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}{\bf{p}}'e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}
\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{\omega_{\bf{p}'}}}
\big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}+a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\\
\end{eqnarray}
}