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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

ボース粒子とは

「エネルギー \omega_{\bf{p}}=\sqrt{\mid{\bf{p}}|^2+m^2}は1粒子のエネルギーを表すものと考えられるため、今後は \omega_{\bf{p}} E_p(または、単にE)と書くことにします。ここで、エネルギーが常に正: E_p=+\sqrt{|{\bf{p}}|^2+m^2}となることに注意してください。この形式により、粒子の統計を決定することが可能になります」
「粒子の統計?」
 越野さんは頷いた。
「例えば、2粒子状態 a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}^\dagger|0\rangleを考えてみましょう。 a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}^\daggerは共に生成演算子であり、これらは交換可能(可換)であるため、2粒子状態 a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}^\dagger|0\rangleと、これらの2粒子を入れ替えた状態 a_{\bf{q}}^\dagger a_{\bf{p}}^\dagger|0\rangleとは、同一となります」

クライン−ゴルドン場の2粒子状態を入れ替えても同一の状態になる
 a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}^\dagger|0\rangle=a_{\bf{q}}^\dagger a_{\bf{p}}^\dagger|0\rangle

「さらに、単一モードpは、任意の数の粒子を含むことができます。これはちょうど、単調和振動子(バネ)が、任意の高さのレベルまで励起できるのと同様です。それゆえ、クライン‐ゴルドン粒子は、ボース‐アインシュタイン統計に従うものと結論付けることができます」

「ボース‐アインシュタイン統計って、何よ?」
「粒子の入れ替えに対して、波動関数が対称的となるような粒子を『ボース粒子(Bose particle)』と呼びます。ボース粒子は、例えば、整数のスピンをもつ光子などの粒子や、偶数個の半奇数の素粒子からなる ^2\textrm{H} ^{4}\textrm{He}などの粒子などが挙げられます。ボース粒子は、1つの量子状態を占有する粒子の数が0から \inftyまで任意の数を取りうることが知られています。逆にいえば、ボース粒子は、複数の粒子が同一の量子状態を取りうるのです」

ボース粒子(Bose particle)
粒子の入れ替えに対して、波動関数が対称的となるような粒子
(例えば、整数のスピンをもつ光子などの粒子や、偶数個の半奇数の素粒子からなる ^2\textrm{H} ^{4}\textrm{He}などの粒子)
 ↓
1つの量子状態を占有する粒子の数が0から \inftyまで任意の数を取りうる

「このようなボース粒子からなる系が満たす量子的な統計を『ボース‐アインシュタイン統計(Bose-Einstein statistics)』と呼びます。そして、クライン−ゴルドン粒子はまさしくボース‐アインシュタイン統計に従うボース粒子なのです」

クライン‐ゴルドン粒子:ボース‐アインシュタイン統計に従うボース粒子