状態pの一粒子波動関数の位置空間表示 - スーパーサイエンスガール

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}})\mid 0\rangle&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}\big)\mid 0\rangle\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}a_{\bf{p}}^{\dagger}\mid 0\rangle\,\,\, (\because a_{\bf{p}}\mid 0\rangle=0\mid 0\rangle) \\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}} e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}\mid {\bf{p}}\rangle \end{eqnarray} }$
(2.41)

「非相対論的な場合と同様の解釈を突き進めると、演算子 $\phi(x)$ が真空に作用すると、位置xに粒子が生成されるものとみなすこともできます」

真空に演算子 $\phi(x)$ が作用する → 位置xに粒子が生成される

「この解釈はさらに、(2.35)式を用いて、以下の計算をすることによって確認できます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mid{\bf{p}}\rangle=\sqrt{2E_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^\dagger\mid 0\rangle}. \end{eqnarray} }$
(2.35)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \langle 0\mid\phi({\bf{x}})\mid\bf{p}\rangle &=&\langle 0\mid\int\frac{d^3p’}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}’}}} \big(a_{\bf{p}’}e^{i{\bf{p}’}\cdot{\bf{x}}}+a_{\bf{p}’}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}’}\cdot{\bf{x}’}}\big)\sqrt{2E_{\bf{p}}}a_{\bf{p}}^{\dagger}\mid 0\rangle\\ &=&\langle 0\mid \int\frac{d^3p’}{(2\pi)^3}\big(a_{\bf{p}’}e^{i{\bf{p}’}\cdot{\bf{x}}}+a_{\bf{p}’}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}’}\cdot{\bf{x}’}}\big)a_{\bf{p}}^{\dagger}\mid 0\rangle \end{eqnarray} }$

「ここで、右辺第２項目は、 $a_{\bf{p}}\mid 0\rangle=0\mid 0\rangle$ の共役 $\langle 0\mid a_{\bf{p}}^\dagger =\langle0\mid 0$ からゼロとなります。また、下の生成・消滅演算子の交換関係を使うと」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [a_{\bf{p}},a_{\bf{p}'}^\dagger]&=&(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'}). \end{eqnarray} }$
(2.29)

「 $[a_{\bf{p}'},a_{\bf{p}}^\dagger]=a_{\bf{p}'}a_{\bf{p}}^\dagger -a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}'}=(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'})$ から、次の関係式が成り立ちます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} a_{\bf{p}'}a_{\bf{p}}^\dagger\mid 0\rangle &=&a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}'}\mid 0\rangle+(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'})\mid 0\rangle\\ &=&(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'})\mid 0\rangle \end{eqnarray} }$

「この関係を用いると、結局 $\langle0\mid \phi({\bf{x}})|{\bf{p}}\rangle$ の計算は、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \langle0|\phi({\bf{x}})|{\bf{p}}\rangle &=&\langle0\mid \int\frac{d^3p’}{(2\pi)^3}a_{\bf{p}’}e^{i{\bf{p}’}\cdot{\bf{x}}}a_{\bf{p}}^{\dagger}\mid 0\rangle\\ &=&\langle0\mid \int\frac{d^3p’}{(2\pi)^3}e^{i{\bf{p}’}\cdot{\bf{x}}}a_{\bf{p}’}a_{\bf{p}}^{\dagger}\mid 0\rangle\\ &=&\langle0\mid \int\frac{d^3p’}{(2\pi)^3}e^{i{\bf{p}’}\cdot{\bf{x}}}(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'})\mid 0\rangle\\ &=&\langle0\mid \int d^3p'e^{i{\bf{p}’}\cdot{\bf{x}}}\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'})\mid 0\rangle\\ &=&e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}} \end{eqnarray} }$

「よって、次の(2.42)式が成り立ちます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \langle0|\phi({\bf{x}})|{\bf{p}}\rangle &=&\langle0\mid \int\frac{d^3p’}{(2\pi)^3}a_{\bf{p}’}e^{i{\bf{p}’}\cdot{\bf{x}}}a_{\bf{p}}^{\dagger}\mid 0\rangle\\ &=&\langle0\mid \int d^3p'e^{i{\bf{p}’}\cdot{\bf{x}}}\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'})\mid 0\rangle\\ &=&e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}} \end{eqnarray} }$
(2.42)

「この結果から、ちょうど非相対論的な量子力学 $\langle x|p\rangle\propto e^{ip\cdot x}$ が状態 $|p\rangle$ の波動関数であるように、(2.42)式を状態 $\mid p\rangle$ の一粒子波動関数の位置空間表示と解釈することができます」

$\langle x\mid p\rangle\propto e^{ip\cdot x}$ →状態 $\mid p\rangle$ の波動関数
　↓
状態 $\mid p\rangle$ の一粒子波動関数の位置空間表示 $\langle0\mid \phi({\bf{x}})\mid {\bf{p}}\rangle$