読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

状態pの一粒子波動関数の位置空間表示


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi({\bf{x}})\mid 0\rangle&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}\big)\mid 0\rangle\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}a_{\bf{p}}^{\dagger}\mid 0\rangle\,\,\, (\because a_{\bf{p}}\mid 0\rangle=0\mid 0\rangle) \\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}} e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}\mid {\bf{p}}\rangle
\end{eqnarray}
}
(2.41)

「非相対論的な場合と同様の解釈を突き進めると、演算子 \phi(x)が真空に作用すると、位置xに粒子が生成されるものとみなすこともできます」

真空に演算子 \phi(x)が作用する → 位置xに粒子が生成される

「この解釈はさらに、(2.35)式を用いて、以下の計算をすることによって確認できます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mid{\bf{p}}\rangle=\sqrt{2E_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^\dagger\mid 0\rangle}.
\end{eqnarray}
}
(2.35)


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\langle 0\mid\phi({\bf{x}})\mid\bf{p}\rangle
&=&\langle 0\mid\int\frac{d^3p’}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}’}}}
\big(a_{\bf{p}’}e^{i{\bf{p}’}\cdot{\bf{x}}}+a_{\bf{p}’}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}’}\cdot{\bf{x}’}}\big)\sqrt{2E_{\bf{p}}}a_{\bf{p}}^{\dagger}\mid 0\rangle\\
&=&\langle 0\mid \int\frac{d^3p’}{(2\pi)^3}\big(a_{\bf{p}’}e^{i{\bf{p}’}\cdot{\bf{x}}}+a_{\bf{p}’}^{\dagger}e^{-i{\bf{p}’}\cdot{\bf{x}’}}\big)a_{\bf{p}}^{\dagger}\mid 0\rangle
\end{eqnarray}
}

「ここで、右辺第2項目は、 a_{\bf{p}}\mid 0\rangle=0\mid 0\rangleの共役 \langle 0\mid a_{\bf{p}}^\dagger =\langle0\mid 0からゼロとなります。また、下の生成・消滅演算子の交換関係を使うと」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[a_{\bf{p}},a_{\bf{p}'}^\dagger]&=&(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'}).
\end{eqnarray}
}
(2.29)

 [a_{\bf{p}'},a_{\bf{p}}^\dagger]=a_{\bf{p}'}a_{\bf{p}}^\dagger -a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}'}=(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'})から、次の関係式が成り立ちます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
a_{\bf{p}'}a_{\bf{p}}^\dagger\mid 0\rangle
&=&a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}'}\mid 0\rangle+(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'})\mid 0\rangle\\
&=&(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'})\mid 0\rangle
\end{eqnarray}
}

「この関係を用いると、結局 \langle0\mid \phi({\bf{x}})|{\bf{p}}\rangleの計算は、次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\langle0|\phi({\bf{x}})|{\bf{p}}\rangle
&=&\langle0\mid \int\frac{d^3p’}{(2\pi)^3}a_{\bf{p}’}e^{i{\bf{p}’}\cdot{\bf{x}}}a_{\bf{p}}^{\dagger}\mid 0\rangle\\
&=&\langle0\mid \int\frac{d^3p’}{(2\pi)^3}e^{i{\bf{p}’}\cdot{\bf{x}}}a_{\bf{p}’}a_{\bf{p}}^{\dagger}\mid 0\rangle\\
&=&\langle0\mid \int\frac{d^3p’}{(2\pi)^3}e^{i{\bf{p}’}\cdot{\bf{x}}}(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'})\mid 0\rangle\\
&=&\langle0\mid \int d^3p'e^{i{\bf{p}’}\cdot{\bf{x}}}\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'})\mid 0\rangle\\
&=&e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}
\end{eqnarray}
}

「よって、次の(2.42)式が成り立ちます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\langle0|\phi({\bf{x}})|{\bf{p}}\rangle
&=&\langle0\mid \int\frac{d^3p’}{(2\pi)^3}a_{\bf{p}’}e^{i{\bf{p}’}\cdot{\bf{x}}}a_{\bf{p}}^{\dagger}\mid 0\rangle\\
&=&\langle0\mid \int d^3p'e^{i{\bf{p}’}\cdot{\bf{x}}}\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'})\mid 0\rangle\\
&=&e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}
\end{eqnarray}
}
(2.42)

「この結果から、ちょうど非相対論的な量子力学 \langle x|p\rangle\propto e^{ip\cdot x}が状態 |p\rangle波動関数であるように、(2.42)式を状態 \mid p\rangleの一粒子波動関数の位置空間表示と解釈することができます」

 \langle x\mid p\rangle\propto e^{ip\cdot x}→状態 \mid p\rangle波動関数
 ↓
状態 \mid p\rangleの一粒子波動関数の位置空間表示 \langle0\mid \phi({\bf{x}})\mid {\bf{p}}\rangle