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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

クライン‐ゴルドン場の時間依存性


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
i\frac{\partial}{\partial t}\mathcal{O}=[\mathcal{O}, H].
\end{eqnarray}
}
(2.44)

「Heisenbergの運動方程式に(2.8)式のハミルトニアンHを代入すると、 \phiおよび \piの時間依存性を計算することができます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3x\mathcal{H}=\int d^3x\bigg[\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2\bigg].
\end{eqnarray}
}
(2.8)


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
i\frac{\partial}{\partial t}\phi({\bf{x}},t)
&=&\bigg[\phi({\bf{x}},t), H\bigg]\\
&=&\bigg[\phi({\bf{x}},t), \int d^3 x’\bigg\{\frac{1}{2}\pi^2({\bf{x}’},t)+\frac{1}{2}(\nabla\phi({\bf{x}’},t))^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2({\bf{x}’},t)\bigg\}\bigg]
\end{eqnarray}
}

「ここで、上式の右辺の交換子の右側の第3項に着目すると、 [\phi({\bf{x}},t), \phi^2({\bf{x}'},t)]の形を持ちますが、交換子の公式 [A, BC]=B[A, C]+[A, B]Cおよび(2.20)式から、次のように0となります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]&=&i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}});\\
[\phi({\bf{x}}), \phi({\bf{y}})]&=&[\pi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]=0.
\end{eqnarray}
}
(2.20)


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[\phi({\bf{x}},t), \phi^2({\bf{x}'},t)]&=&\phi({\bf{x}'},t)[\phi({\bf{x}},t), \phi({\bf{x}'},t)]+[\phi({\bf{x}},t), \phi({\bf{x}'},t)]\phi({\bf{x}'},t)=0
\end{eqnarray}
}

「また、上式の右辺の交換子の右側の第2項に着目すると、(2.27)式より、 \phi({\bf{x}},t)がxについて e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}の依存性を有することから、 \nabla\phi({\bf{x}},t)=i{\bf{p}}\phi({\bf{x}},t)となって、 \phi({\bf{x}},t)が残ります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big) e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}};
\end{eqnarray}
}
(2.27)

「それゆえ、右辺第2項も、 [\phi({\bf{x}},t), \phi^2({\bf{x}'},t)]の形を持つので、右辺第3項と同様にゼロになります」

「また、(2.30)式の交換関係[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{x}'})]を用いて、上式の第1項を計算することができます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{x}'})]&=&\int\frac{d^3pd^3p'}{(2\pi)^6}\frac{-i}{2}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}'}}{\omega_{\bf{p}}}}
\big([a_{-\bf{p}}^{\dagger}, a_{\bf{p}'}]-[a_{\bf{p}}, a_{-\bf{p}'}^{\dagger}]
\big)e^{i{(\bf{p}\cdot\bf{x}+\bf{p'}\cdot\bf{x}')}}
\end{eqnarray}
}

「ここで、交換子の公式 [A, BC]=B[A, C]+[A, B]Cから次の式がなりたちます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[\phi({\bf{x}},t),\pi^2({\bf{x}'},t)]
&=&\pi({\bf{x}'},t)[\phi({\bf{x}},t),\pi({\bf{x}'},t)]+[\phi({\bf{x}},t),\pi({\bf{x}'},t)]\pi({\bf{x}'},t)\\
&=&2[\phi({\bf{x}},t),\pi({\bf{x}'},t)] \pi({\bf{x}'},t)
\end{eqnarray}
}

「したがって、クライン‐ゴルドン \phiの時間依存性は、以下のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
i\frac{\partial}{\partial t}\phi({\bf{x}},t)
&=&\bigg[\phi({\bf{x}},t), H\bigg]\\
&=&\bigg[\phi({\bf{x}},t), \int d^3 x’\bigg\{\frac{1}{2}\pi^2({\bf{x}’},t)+\frac{1}{2}(\nabla\phi({\bf{x}’},t))^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2({\bf{x}’},t)\bigg\}\bigg]\\
&=&\bigg[\phi({\bf{x}},t), \int d^3 x’ \frac{1}{2}\pi^2({\bf{x}’},t) \bigg]\\
&=&\int d^3 x’\bigg[\phi({\bf{x}},t), \pi({\bf{x}’},t) \bigg]\pi({\bf{x}’},t)\\
&=&\int d^3 x’i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{x}’}) \pi({\bf{x}’},t)\\
&=&i\pi({\bf{x}},t)
\end{eqnarray}
}