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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

運動量密度の時間依存性

「クライン‐ゴルドン場の時間依存性と同様に、運動量密度 \pi の時間依存性も、Heisenbergの運動方程式から同様に計算できます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
i\frac{\partial}{\partial t}\mathcal{O}=[\mathcal{O}, H].
\end{eqnarray}
}
(2.44)


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
i\frac{\partial}{\partial t}\pi({\bf{x}},t)
&=&\big[\pi({\bf{x}},t), H\big]\\
&=&\bigg[\pi({\bf{x}},t), \int d^3 x’\bigg\{\frac{1}{2}\pi^2({\bf{x}’},t)+\frac{1}{2}(\nabla\phi({\bf{x}’},t))^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2({\bf{x}’},t)\bigg\}\bigg]\\
&=&\bigg[\pi({\bf{x}},t), \int d^3 x’\bigg\{\frac{1}{2}\pi^2({\bf{x}’},t)+\frac{1}{2}\phi({\bf{x}’},t)(-\nabla^2+m^2)\phi({\bf{x}’},t)\bigg\}\bigg]
\end{eqnarray}
}

「ここで、上式の右辺の交換子の右側の第1項に着目すると、 [\pi({\bf{x}},t), \pi^2({\bf{x}'},t)]の形を持ちますが、交換子の公式 [A, BC]=B[A, C]+[A, B]Cおよび(2.20)式から、次のように0となります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]&=&i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}});\\
[\phi({\bf{x}}), \phi({\bf{y}})]&=&[\pi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]=0.
\end{eqnarray}
}
(2.20)


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[\pi({\bf{x}},t), \pi^2({\bf{x}'},t)]&=&\pi({\bf{x}'},t)[\pi({\bf{x}},t), \pi({\bf{x}'},t)]+[\pi({\bf{x}},t), \pi({\bf{x}'},t)]\pi({\bf{x}'},t)=0
\end{eqnarray}
}

「したがって、運動量密度 \pi の時間依存性は次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
i\frac{\partial}{\partial t}\pi({\bf{x}},t)
&=&\big[\pi({\bf{x}},t), H\big]\\
&=&\bigg[\pi({\bf{x}},t), \int d^3 x’\bigg\{\frac{1}{2}\pi^2({\bf{x}’},t)+\frac{1}{2}(\nabla\phi({\bf{x}’},t))^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2({\bf{x}’},t)\bigg\}\bigg]\\
&=&\bigg[\pi({\bf{x}},t), \int d^3 x’\bigg\{\frac{1}{2}\pi^2({\bf{x}’},t)+\frac{1}{2}\phi({\bf{x}’},t)(-\nabla^2+m^2)\phi({\bf{x}’},t)\bigg\}\bigg]\\
&=&\bigg[\pi({\bf{x}},t), \int d^3 x’ \frac{1}{2}\phi({\bf{x}’},t)(-\nabla^2+m^2)\phi({\bf{x}’},t) \bigg]\\
&=&\int d^3x’\bigg[-i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{x}’}) (-\nabla^2+m^2)\phi({\bf{x}’},t)\bigg] \\
&=&-i (-\nabla^2+m^2)\phi({\bf{x}’},t) 
\end{eqnarray}
}

ここで、越野さんは、落ち着きがないようにそわそわした。
「実は、上の計算において、どうしても計算が合わないところがあります」
「計算が合わないところ?」
「下の式の第2行から第3行への変形で符号がどうしても合いません」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
i\frac{\partial}{\partial t}\pi({\bf{x}},t)
&=&\big[\pi({\bf{x}},t), H\big]\\
&=&\bigg[\pi({\bf{x}},t), \int d^3 x’\bigg\{\frac{1}{2}\pi^2({\bf{x}’},t)+\frac{1}{2}(\nabla\phi({\bf{x}’},t))^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2({\bf{x}’},t)\bigg\}\bigg]\\
&=&\bigg[\pi({\bf{x}},t), \int d^3 x’\bigg\{\frac{1}{2}\pi^2({\bf{x}’},t)+\frac{1}{2}\phi({\bf{x}’},t)(-\nabla^2+m^2)\phi({\bf{x}’},t)\bigg\}\bigg]
\end{eqnarray}
}

「実際、上式の第2行目の交換子の右側の第2項は、(2.27)式から次のように変形することができます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big) e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}};
\end{eqnarray}
}
(2.27)


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2}(\nabla\phi({\bf{x}’},t))^2&=&\frac{1}{2}\nabla\phi({\bf{x}’},t) \nabla\phi({\bf{x}’},t)\\
&=&\frac{1}{2}(i{\bf{p}}\phi({\bf{x}’},t)) (i{\bf{p}}\phi({\bf{x}’},t))\\
&=&-\frac{1}{2}{\bf{p}}\phi({\bf{x}’},t){\bf{p}}\phi({\bf{x}’},t)\\
&=&\frac{1}{2}\phi({\bf{x}’},t)(-{\bf{p}}^2\phi({\bf{x}’},t))\\
&=&\frac{1}{2}\phi({\bf{x}’},t)({(i\bf{p})}^2\phi({\bf{x}’},t))\\
&=&\frac{1}{2}\phi({\bf{x}’},t)(\nabla^2\phi({\bf{x}’},t))
\end{eqnarray}
}

「このように、 \nabla^2の符号がプラスになってしまうので、テキストの計算とどうしても合わないのです」
 一宮がここぞとばかりに瞳を輝かせながら食いついた。
「プラスとマイナスの区別もつかないの? このテキストの著者って、上から目線で偉そうにしている割には、結構いいかげんね!」