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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

クライン‐ゴルドン方程式の導出

「以上の結果をまとめると、次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
i\frac{\partial}{\partial t}\phi({\bf{x}},t)
&=&\bigg[\phi({\bf{x}},t), \int d^3 x’\bigg\{\frac{1}{2}\pi^2({\bf{x}’},t)+\frac{1}{2}(\nabla\phi({\bf{x}’},t))^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2({\bf{x}’},t)\bigg\}\bigg]\\
&=&\int d^3 x’\bigg(i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{x}’} \pi({\bf{x}’},t) \bigg)\\
&=&i\pi({\bf{x}},t)\\
i\frac{\partial}{\partial t}\pi({\bf{x}},t)
&=&\bigg[\pi({\bf{x}},t), \int d^3 x’\bigg\{\frac{1}{2}\pi^2({\bf{x}’},t)+\frac{1}{2}(\nabla\phi({\bf{x}’},t))^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2({\bf{x}’},t)\bigg\}\bigg]\\
&=&\int d^3x’\bigg(-i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{x}’}) (-\nabla^2+m^2)\phi({\bf{x}’},t) \\
&=&-i (-\nabla^2+m^2)\phi({\bf{x}’},t) 
\end{eqnarray}
}

「次に、 \phiの式の2階微分を行うことによって、これらの2つの式を組み合わせてみましょう」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
i\frac{\partial^2}{\partial t^2}\phi({\bf{x}},t)
&=&i\frac{\partial}{\partial t}\pi({\bf{x}},t)\\
&=&-i (-\nabla^2+m^2)\phi({\bf{x}’},t) 
\end{eqnarray}
}

「これから、次の(2.45)式を導くことができます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\frac{\partial^2}{\partial t^2}\phi({\bf{x}},t)
&=& (\nabla^2-m^2)\phi({\bf{x}’},t),
\end{eqnarray}
}
(2.45)

「これはまさしく、クライン-ゴルドン方程式となっています」