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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

時空間のクライン‐ゴルドン場

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
e^{-i{\bf{P}}\cdot{\bf{x}}}a_{\bf{p}} e^{i{\bf{P}}\cdot{\bf{x}}}&=&a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}, \,\,\,\,\,\,\,
e^{-i{\bf{P}}\cdot{\bf{x}}}a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{P}}\cdot{\bf{x}}}&=&a_{\bf{p}}^\dagger e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}},
\end{eqnarray}
}
(2.48)

「上の(2.48)式の左右からそれぞれ e^{iHt}および e^{-iHt}をかけて、時間に依存した式に書き換えることによって、次の(2.49)式が成り立つことがわかります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi(x)&=&e^{i(Ht-{\bf{P}}\cdot{\bf{x}})}\phi(0) e^{-i(Ht-{\bf{P}}\cdot{\bf{x}})}\\
&=&e^{iP\cdot x}\phi(0)e^{-iP\cdot x},
\end{eqnarray}
}
(2.49)

「なお、 P^\mu=(H, P) x^\mu=(t,-{\bf{x}})としました。上の式の右辺は、 P, xのみが含まれ、時間 tに依存していないように見えますが、実際には、4元ベクトル P^\mu, x^\muで表記しているため、時間 tも含まれていることに注意してください」
「紛らわしいわね!」
 一宮が不満そうに頬を膨らませた。