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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

時空間のクライン‐ゴルドン場の物理的意味1

「ここで、(2.47)式の物理的な意味について考えてみましょう」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi({\bf{x}}, t)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big) \mid_{p^0=E_{\bf{p}}}:\\
\pi({\bf{x}},t)&=&\frac{\partial}{\partial t}\phi({\bf{x}},t).
\end{eqnarray}
}
(2.47)

「(2.47)式は、量子場 \phi(x)の粒子と波の二重性の解釈を明確にします。すなわち、 \phi(x)は、励起された場の量子である粒子を生成・消滅させるヒルベルト空間演算子として記載される一方で、 \phi(x)は、クライン-ゴルドン方程式の解( e^{ip\cdot x}および e^{-ip\cdot x})の線形結合を表します」

 \phi(x)は2種類の要素からなる
(1) a_{\bf{p}}^{\dagger}, a_{\bf{p}}:励起された場の量子である粒子を生成・消滅させるヒルベルト空間演算子(粒子性)
(2)クライン-ゴルドン方程式の解( e^{ip\cdot x}および e^{-ip\cdot x})の線形結合(波の重ね合わせ)

「つまり、生成演算子 a_{\bf{p}}^{\dagger}と消滅演算子 a_{\bf{p}}が粒子性に関係していて、 e^{ip\cdot x}および e^{-ip\cdot x}が波動性に関係しているってこと?」
 越野さんは頷いた。
「ざっくりいえば、そういうことになりますね」

生成演算子 a_{\bf{p}}^{\dagger}・消滅演算子 a_{\bf{p}}→粒子性
 e^{ip\cdot x} e^{-ip\cdot x}→波動性