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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

時空間のクライン‐ゴルドン場の伝搬粒子の振幅の導出1

因果律

「それでは、次に、因果律の問題について考えてみたいと思います。Heisenberg描像において、yからxに伝搬する1粒子の振幅は、 \langle 0\mid\varphi(x)\varphi(y)\mid 0\rangleと書くことができます。ブラケットを右から左に読む、という規則に従えば、 \langle 0\mid\varphi(x)\varphi(y)\mid 0\rangleは、yに1粒子が存在する状態 \varphi(y)\mid\rangleからxに1粒子が存在する状態 \varphi(x)\mid0\rangleに移りゆく振幅を表すものと考えることができます」

 \langle 0\mid\phi(x)\phi(y)\mid 0\rangle
 ↓ ブラケットを右から左に読む
yに1粒子が存在する状態 \phi(y)\mid0\rangleからxに1粒子が存在する状態 \phi(x)\mid0\rangleに移りゆく振幅

「ここで、この量を D(x-y)と呼ぶことにしましょう。下の(2.47)式から、各演算子 \varphiは、消滅演算子aと生成演算子 a^\daggerの和であるため、\langle 0\mid\varphi(x)\varphi(y)\mid0\rangleから \langle 0\mid a_{\bf{p}} a_{\bf{q}}\mid0\rangle \langle 0\mid a_{\bf{p}} a_{\bf{q}}^\dagger\mid0\rangle \langle 0\mid a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}\mid0\rangle \langle 0\mid a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}^\dagger\mid0\rangleの4つの項が含まれることが分かります」

時空間のクライン−ゴルドン
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi({\bf{x}}, t)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big) \mid_{p^0=E_{\bf{p}}}:\\
\pi({\bf{x}},t)&=&\frac{\partial}{\partial t}\phi({\bf{x}},t).
\end{eqnarray}
}
(2.47)

\langle 0\mid\phi(x)\phi(y)\mid0\rangleは以下の4つの項を含む
 ↓
 \langle 0\mid a_{\bf{p}} a_{\bf{q}}\mid0\rangle \langle 0\mid a_{\bf{p}} a_{\bf{q}}^\dagger\mid0\rangle \langle 0\mid a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}\mid0\rangle \langle 0\mid a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}^\dagger\mid0\rangle

「しかしながら、これら4つの項のうち、 \langle 0\mid a_{\bf{p}}a_{\bf{q}}^\dagger\mid 0\rangle=(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})の項以外の項はすべてゼロとなります。なぜなら、 \langle 0\mid a_{\bf{p}} a_{\bf{q}}\mid0\rangleおよび \langle 0\mid a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}} \mid 0\rangleの項は、 a_{\bf{q}} \mid 0\rangle=0\mid 0\rangle(真空状態に消滅演算子を作用させても粒子が生成されない)からゼロとなり、また、 \langle 0\mid a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}^\dagger\mid0\rangleの項も、その共役関係 \langle 0\mid a_{\bf{q}}^\dagger=\langle 0\mid 0からゼロとなるためです」