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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

時間的な伝搬粒子のクライン‐ゴルドン場の振幅の導出2


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
D(x-y)&=&\frac{4\pi}{(2\pi)^3}\int_0^\infty dp\frac{p^2}{2\sqrt{p^2+m^2}}e^{-i\sqrt{p^2+m^2}t}
\end{eqnarray}
}

「次に、上の積分を計算するため、積分変数を pから Eに変換します。ここで、 E=\sqrt{p^2+m^2} p微分すると次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
E&=&\sqrt{p^2+m^2}=(p^2+m^2)^{\frac{1}{2}}\\
\frac{dE}{dp}&=&\frac{2p}{2(p^2+m^2)^{\frac{1}{2}}}=\frac{p}{\sqrt{p^2+m^2}}\\
\frac{p dp}{\sqrt{p^2+m^2}}&=&dE
\end{eqnarray}
}

「この関係を代入すると、 D(x-y)は、次のように簡単な式になります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
D(x-y)&=& \frac{1}{4\pi^2}\int_0^\infty dE pe^{-iEt}
\end{eqnarray}
}

「次に、 E^2=p^2+m^2から p^2=E^2-m^2 p=\sqrt{E^2-m^2}となるため、この式を上の式に代入すると、エネルギーEについての D(x-y)の式が求まります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
D(x-y)&=&\frac{1}{4\pi^2}\int_0^\infty dE pe^{-iEt}\\
&=& \frac{1}{4\pi^2}\int_m^\infty dE\sqrt{E^2-m^2}e^{-iEt}\\
\end{eqnarray}
}