スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

時間的な伝搬粒子のクライン‐ゴルドン場の振幅の導出２

場の量子論


{ \displaystyle \begin{eqnarray} D(x-y)&=&\frac{4\pi}{(2\pi)^3}\int_0^\infty dp\frac{p^2}{2\sqrt{p^2+m^2}}e^{-i\sqrt{p^2+m^2}t} \end{eqnarray} }

「次に、上の積分を計算するため、積分変数を pから Eに変換します。ここで、 E=\sqrt{p^2+m^2}を pで微分すると次のようになります」


{ \displaystyle \begin{eqnarray} E&=&\sqrt{p^2+m^2}=(p^2+m^2)^{\frac{1}{2}}\\ \frac{dE}{dp}&=&\frac{2p}{2(p^2+m^2)^{\frac{1}{2}}}=\frac{p}{\sqrt{p^2+m^2}}\\ \frac{p dp}{\sqrt{p^2+m^2}}&=&dE \end{eqnarray} }

「この関係を代入すると、 D(x-y)は、次のように簡単な式になります」


{ \displaystyle \begin{eqnarray} D(x-y)&=& \frac{1}{4\pi^2}\int_0^\infty dE pe^{-iEt} \end{eqnarray} }

「次に、 E^2=p^2+m^2から p^2=E^2-m^2、 p=\sqrt{E^2-m^2}となるため、この式を上の式に代入すると、エネルギーEについての D(x-y)の式が求まります」


{ \displaystyle \begin{eqnarray} D(x-y)&=&\frac{1}{4\pi^2}\int_0^\infty dE pe^{-iEt}\\ &=& \frac{1}{4\pi^2}\int_m^\infty dE\sqrt{E^2-m^2}e^{-iEt}\\ \end{eqnarray} }