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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

空間的な伝搬粒子のクライン‐ゴルドン場の振幅の導出3


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
D(x-y)&=&\frac{2\pi}{(2\pi)^3}\int_0^\infty dp\frac{p^2}{2E_{\bf{p}}}\frac{e^{ipr}-e^{-ipr}}{ipr}\\
&=&\frac{-i}{2(2\pi)^2r}\int_0^\infty dp\frac{p}{2E_{\bf{p}}}(e^{ipr}-e^{-ipr})
\end{eqnarray}
}

「次に、 \int_0^\infty dp\frac{p}{E_{\bf{p}}} e^{-ipr}において、 p=-p'と変数変換すると、 dp=-dp'の関係が成り立ち、また、Einsteinの関係式 E_{\bf{p}}=\sqrt{p^2+m^2}から E_{-\bf{p}}=E_{\bf{p}}となるため、次のように変形することができます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
 \int_0^\infty dp \frac{p}{E_{\bf{p}}}e^{-ipr}&=&-\int_0^{-\infty} dp' \frac{-p'}{E_{-\bf{p}'}}e^{ip'r}\\
&=&\int_0^{-\infty} dp' \frac{p'}{E_{\bf{p}'}}e^{ip'r}\\
&=&-\int_{-\infty}^0 dp' \frac{p'}{E_{\bf{p}'}}e^{ip'r}
\end{eqnarray}
}

「ここで、右辺の式において、p'\rightarrow pと置き換えても一般性は失われないので、結局 \int_0^\infty dp \frac{p}{E_{\bf{p}}}e^{-ipr}は、 \int_{-\infty}^0 dp \frac{p}{E_{\bf{p}}}e^{ipr}と置き換えることができます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\int_0^\infty dp \frac{p}{E_{\bf{p}}}e^{-ipr}=-\int_{-\infty}^0 dp \frac{p}{E_{\bf{p}}}e^{ipr}
\end{eqnarray}
}

「この関係式を使うと、 D(x-y)は次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
D(x-y)&=&\frac{-i}{2(2\pi)^2r}\int_0^\infty dp\frac{p}{E_{\bf{p}}}(e^{ipr}-e^{-ipr})\\
&=&\frac{-i}{2(2\pi)^2r}\bigg(\int_0^\infty dp \frac{p}{E_{\bf{p}}}e^{ipr}-\int_0^\infty dp \frac{p}{E_{\bf{p}}}e^{-ipr}\bigg)\\
&=&\frac{-i}{2(2\pi)^2r}\bigg(\int_0^\infty dp \frac{p}{E_{\bf{p}}}e^{ipr}+\int_{-\infty}^0 dp \frac{p}{E_{\bf{p}}}e^{ipr}\bigg)\\
&=&\frac{-i}{2(2\pi)^2r}\int_{-\infty}^\infty dp \frac{p}{E_{\bf{p}}}e^{ipr}
\end{eqnarray}
}

「ここで、Einsteinの関係式 E_{\bf{p}}=\sqrt{p^2+m^2}を代入すると、次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
D(x-y)&=&\frac{-i}{2(2\pi)^2r}\int_{-\infty}^\infty dp \frac{p}{E_{\bf{p}}}e^{ipr}\\
&=&\frac{-i}{2(2\pi)^2r}\int_{-\infty}^\infty dp\frac{p e^{ipr}}{\sqrt{p^2+m^2}}.
\end{eqnarray}
}

「以上から、 D(x-y)は結局、次のように書けることがわかります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
D(x-y)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{r}}}\\
&=&\frac{2\pi}{(2\pi)^3}\int_0^\infty dp\frac{p^2}{2E_{\bf{p}}}\frac{e^{ipr}-e^{-ipr}}{ipr}\\
&=&\frac{-i}{2(2\pi)^2r}\int_{-\infty}^\infty dp\frac{p e^{ipr}}{\sqrt{p^2+m^2}}.
\end{eqnarray}
}