空間的な伝搬粒子のクライン‐ゴルドン場の振幅の導出４

「以上から、 $D(x-y)$ は、次式のようになることがわかりました」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} D(x-y)&=&\frac{1}{4\pi^2r}\int_m^\infty d\rho\frac{\rho e^{-\rho r}}{\sqrt{\rho^2-m^2}} \end{eqnarray} }$

「次に、この積分を評価してみましょう」
「ちょっと待って！」
　突然、一宮が待ったをかけた。俺たちは一宮の顔を見た。
「上の積分経路って、ひょっとして虚数軸を通っているんじゃないの？」
「そうですね。もともと、 $\rho=-ip$ の変換により、実数軸上の積分を虚数軸上の積分に変換しています」
「でも、積分経路が虚数軸上にあるのなら、特異点 $(0, im)$ 上を通ってしまうんじゃないの？　だとしたら、虚数軸を通る上の積分と、特異点 $(0, im)$ のまわりを回り込む下の図2.3とは積分経路が全然違うじゃないの！」

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図2.3 空間的距離上の伝搬関数D(x-y)を評価するための積分路

「あれ、そういえば……」
　越野さんは慌ててテキストのページをめくった。
「ハーバード大学卒の教授のくせに、説明が矛盾だらけじゃないの！」
「そんな、ハーバード大学卒の教授が間違えるわけないと思うんですが……」
　一宮は胡散臭そうな目で越野さんを見つめた。
「そもそも、図2.3のような複素積分をするのなら、 $\int_m^{\infty}$ じゃなくて、図2.3に示すように特異点のまわりを回り込む積分経路Ｃを示す $\int_C$ を使って書くはずよ！」
「おかしいですね……」
　一宮は、一度相手の間違いを見つけると、スッポンのように食いついて離れず、徹底的にあら探しをする。特に、相手がハーバード大学卒の教授のような世界的な権威となれば、なおさらだ。
「矛盾だらけじゃないの！　説明しなさいよ！」
　一宮に詰め寄られ、越野さんは数歩あとずさった。
　越野さんが泣きそうな顔になり、すがるような目で俺を見る。