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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

クライン‐ゴルドン場の交換関係の導出2

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\big[\phi(x), \phi(y)\big]=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}&\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}&
\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\bigg\{\big[ a_{\bf{p}}, a_{\bf{q}}^\dagger \big] e^{-ip\cdot x} e^{iq\cdot y}+\big[ a_{\bf{p}}^\dagger, a_{\bf{q}}\big] e^{ip\cdot x}e^{-iq\cdot y}\bigg\}\\
\end{eqnarray}
}

「次に、生成・消滅演算子 [a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}'}^\dagger]の交換関係(2.29)式から、 [a_{\bf{p}}, a_{\bf{q}}^\dagger]の交換関係を導くことができます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}'}^\dagger]&=&(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'}).
\end{eqnarray}
}
(2.29)


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[a_{\bf{p}}, a_{\bf{q}}^\dagger]&=&(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}}).
\end{eqnarray}
}

「この関係を代入すると、 [\phi(x), \phi(y)]の交換関係は、次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\big[\phi(x), \phi(y)\big] &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}
\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\times\bigg\{\big[ a_{\bf{p}}, a_{\bf{q}}^\dagger \big] e^{-ip\cdot x} e^{iq\cdot y}+\big[a_{\bf{p}}^\dagger, a_{\bf{q}}\big] e^{ip\cdot x}e^{-iq\cdot y}\bigg\}\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}
\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\times\bigg\{(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})e^{-ip\cdot x} e^{iq\cdot y}-(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})e^{ip\cdot x}e^{-iq\cdot y}\bigg\}\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}(e^{-ip\cdot (x-y)} -e^{ip\cdot (x-y)})\\
&=&D(x-y)-D(y-x)
\end{eqnarray}
}

「なお、最後の行において、(2.50)式の関係を用いました」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
D(x-y)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}e^{-i{\bf{p}\cdot(\bf{x}-\bf{y})}}.
\end{eqnarray}
}
(2.50)

「以上から、クライン−ゴルドン場の一般的な交換関係は次の(2.53)式のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\big[\phi(x), \phi(y)\big] &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}
\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\times\big[( a_{\bf{p}}e^{-ip\cdot x}+ a_{\bf{p}}e^{ip\cdot x}), (a_{\bf{q}}e^{-iq\cdot y}+ a_{\bf{q}}e^{iq\cdot y})\big]\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}(e^{-ip\cdot (x-y)} -e^{ip\cdot (x-y)})\\
&=&D(x-y)-D(y-x).
\end{eqnarray}
}
(2.53)