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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

光速より遅い時間的領域の因果律

「次に、光速よりも遅い時間的領域の因果律について考えてみます」

f:id:Dreistein:20150621085701p:plain

 (x-y)^2>0の時間的領域内においては、 x点を始点として、 y点から -y点に連続的に回転することができません。なぜなら、 x点を始点として、 yから -y点まで回転するには、上図に示すように、光円錐の外側の空間的領域を通る必要があるためです」

時間的領域内では、 x点を始点として、 y点から -y点に連続的に回転することができない

「それゆえ、時間的領域においては、 (x-y)\rightarrow-(x-y)となる連続的なローレンツ変換が存在しないことが分かります。この場合、(2.51)式によって(幸運にも)振幅はゼロにはならず、 x-y=0の特別な場合に、大体 (e^{-imt}-e^{imt})となります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
D(x-y)&=& \frac{1}{4\pi^2}\int_0^\infty dp\frac{p^2}{\sqrt{p^2+m^2}}e^{-i\sqrt{p^2+m^2}t}\\
&=& \frac{1}{4\pi^2}\int_m^\infty dE\sqrt{E^2-m^2}e^{-iEt}\\
&\sim&_{t\rightarrow \infty}  e^{-imt}.
\end{eqnarray}
}
(2.51)

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\big[\phi(x), \phi(y)\big] &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}
\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\times\big[( a_{\bf{p}}e^{-ip\cdot x}+ a_{\bf{p}}e^{ip\cdot x}), (a_{\bf{q}}e^{-iq\cdot y}+ a_{\bf{q}}e^{iq\cdot y})\big]\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}(e^{-ip\cdot (x-y)} -e^{ip\cdot (x-y)})\\
&=&D(x-y)-D(y-x).
\end{eqnarray}
}
(2.53)

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\big[\phi(x), \phi(y)\big]&=&D(x-y)-D(y-x)\\
&=&e^{-imt}-e^{imt}.
\end{eqnarray}
}