クライン‐ゴルドン場の交換関係の変形１ - スーパーサイエンスガール

クライン‐ゴルドンプロパゲーター

「次に、クライン‐ゴルドン場の交換関係 $[\phi(x), \phi(y)]$ についてもう少し調べてみることにします。この交換関係は $c$ 数（古典的な数（classical number）。普通の数と考えるといいです）であるため、 $[\phi(x), \phi(y)]=\langle 0\mid [\phi(x), \phi(y)]\mid 0\rangle$ と書くことができます。なぜなら、 $N$ を $c$ 数とすると、 $\langle 0\mid N\mid 0\rangle=N\langle0\mid0\rangle=N$ となるためです。この $N$ を $[\phi(x), \phi(y)]$ と考えるといいです。それゆえ、 $x^0>y^0$ と仮定したとき、この交換関係は、次の(2.54)式のように4次元の積分で書き換えることができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \langle 0\mid [\phi(x), \phi(y)]\mid 0\rangle&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\big(e^{-ip\cdot (x-y)}-e^{ip\cdot (x-y)}\big)\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} \bigg\{\frac{1}{2E_{\bf{p}}}e^{-ip\cdot (x-y)}\bigg|_{p^0=E_{\bf{p}}}\\ &&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\frac{1}{-2E_{\bf{p}}}e^{-ip\cdot (x-y)}\bigg|_{p^0=-E_{\bf{p}}}\bigg\}\\ &=&_{x^0>y^0}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\int\frac{dp^0}{2\pi i}\frac{-1}{p^2-m^2} e^{-ip\cdot (x-y)}. \end{eqnarray} }$
(2.54)

「ちょっと、どうしてそんな変形ができるのよ？　また、飛躍しているんじゃないの？」
　一宮が胡散臭そうな目で越野さんを見た。
「たしかに飛躍があるかもしれませんね。それなら行間をもう少し詳しく見てみましょうか。(2.54)式の最終行の分母に $p^2-m^2$ とありますが、 $p^2$ は４元運動量の内積であり、次のように定義されます」

４元運動量の内積
${ \displaystyle \begin{eqnarray} p^2=(p^0)^2-(p^1)^2-(p^2)^2-(p^3)^2=(p^0)^2-{\bf{p}}^2 \end{eqnarray} }$

「ここで、 $p^0$ は４元運動量の時間成分（１次元）を表します。また、 $p^1, p^2, p^3$ は４元運動量の空間成分（３次元）を表し、 ${\bf{p}}=(p^1, p^2, p^3)$ となります」

$p^0$ ：４元運動量の時間成分（１次元）
${\bf{p}}=(p^1, p^2, p^3)$ ：４元運動量の空間成分（３次元）

「この４元運動量の内積の定義と、Einsteinの関係式 $E_{\bf{p}}^2={\bf{p}}^2+m^2$ を用いると、分母の $p^2-m^2$ は、次のように変形することができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} p^2-m^2&=&\big((p^0)^2-{\bf{p}}^2\big)-m^2\\ &=& (p^0)^2-({\bf{p}}^2+m^2)\\ &=&(p^0)^2- E_{\bf{p}}^2\\ &=&(p^0+ E_{\bf{p}}) (p^0- E_{\bf{p}}) \end{eqnarray} }$

「それゆえ、 $p^0= \pm E_{\bf{p}}$ に極があることが分かります。これを(2.54)式の最終行の式に代入すると、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} &&_{x^0>y^0}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\int\frac{dp^0}{2\pi i}\frac{-1}{p^2-m^2} e^{-ip\cdot (x-y)}\\ &=&_{x^0>y^0}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\int\frac{dp^0}{2\pi i}\frac{-1}{(p^0+ E_{\bf{p}}) (p^0- E_{\bf{p}})} e^{-ip\cdot (x-y)} \end{eqnarray} }$