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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

留数定理による複素積分の計算


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
&&_{x^0>y^0}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\int\frac{dp^0}{2\pi i}\frac{-1}{p^2-m^2} e^{-ip\cdot (x-y)}\\
&=&_{x^0>y^0}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\int\frac{dp^0}{2\pi i}\frac{-1}{(p^0+ E_{\bf{p}}) (p^0- E_{\bf{p}})} e^{-ip\cdot (x-y)}.
\end{eqnarray}
}

「次に、積分 p^0被積分関数 f(z)として、実際に、留数 \textrm{Res}[f, \pm E_p]を求めてみましょう」

被積分関数
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
f(z)=\frac{1}{2\pi i}\frac{-1}{(z+ E_{\bf{p}}) (z- E_{\bf{p}})} e^{-iz\cdot (x_0-y_0)}
\end{eqnarray}
}

 z=\pm E_{\bf{p}}は1位の極なので、留数 \textrm{Res}[f, \pm E_p]は次の関係から求めることができます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\textrm{Res}[f, a]=\lim_{z\rightarrow a}(z-a)f(z)
\end{eqnarray}
}

 a=\pm E_pとして、上の関係式から留数 \textrm{Res}[f, \pm E_p]を求めてみます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\textrm{Res}[f, \pm E_p]&=&\lim_{z\rightarrow \pm E_p}(z \mp E_p)f(z)\\
&=&\lim_{z\rightarrow \pm E_p}(z\mp E_p)\frac{1}{2\pi i}\frac{-1}{(z+ E_{\bf{p}}) (z- E_{\bf{p}})} e^{-iz\cdot (x_0-y_0)}\\
&=&\lim_{z\rightarrow \pm E_p}\frac{1}{2\pi i}\frac{-1}{(z\pm E_{\bf{p}})} e^{-iz\cdot (x_0-y_0)}\\
&=&\frac{1}{2\pi i}\frac{-1}{\pm 2E_{\bf{p}}} e^{\mp iE_{\bf{p}}\cdot (x_0-y_0)}
\end{eqnarray}
}

「したがって、留数定理から p^0積分を求めることができます」

留数定理
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2\pi i}\int_c f(z)dz=\textrm{Res}[f, a_1]+\textrm{Res}[f, a_2]+\cdots+\textrm{Res}[f, a_m]
\end{eqnarray}
}

「上で求めた留数 \textrm{Res}[f, \pm E_p]を留数定理に代入します。ただし、積分経路Cは、 p^0= \pm E_{\bf{p}}の極を反時計回りでなく、時計回りに囲っているので、全体としてマイナスの符号が付くことに注意してください」

f:id:Dreistein:20150628065118p:plain


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2\pi i}\int_c f(z)dz&=&-\big(\textrm{Res}[f, E_p]+\textrm{Res}[f, -E_p]\big)\\
\int_c f(z)dz&=&-2\pi i\big(\textrm{Res}[f, E_p]+\textrm{Res}[f, -E_p]\big)\\
&=&-2\pi i\bigg(\frac{1}{2\pi i}\frac{-1}{2E_{\bf{p}}} e^{ -iE_{\bf{p}}\cdot (x_0-y_0)}+\frac{1}{2\pi i}\frac{-1}{-2E_{\bf{p}}} e^{iE_{\bf{p}}\cdot (x_0-y_0)}\bigg)\\
&=&\frac{1}{2E_{\bf{p}}} e^{ -iE_{\bf{p}}\cdot (x_0-y_0)}+\frac{1}{-2E_{\bf{p}}} e^{iE_{\bf{p}}\cdot (x_0-y_0)}\\
&=&\frac{1}{2E_{\bf{p}}} e^{ -ip_0\cdot (x_0-y_0)}\bigg|_{p_0=E_{\bf{p}}}+\frac{1}{-2E_{\bf{p}}} e^{-ip_0\cdot (x_0-y_0)}\bigg|_{p_0=-E_{\bf{p}}}
\end{eqnarray}
}

「これから、下の(2.54)式の最後の行において、 \int dp^0を複素積分 \int_C zに拡張して、上式を代入することによって、(2.54)式の2行目の式を導くことができるというわけです」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\langle 0\mid [\phi(x), \phi(y)]\mid 0\rangle&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\big(e^{-ip\cdot (x-y)}-e^{ip\cdot (x-y)}\big)\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} \bigg\{\frac{1}{2E_{\bf{p}}}e^{-ip\cdot (x-y)}\bigg|_{p^0=E_{\bf{p}}}\\
&&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\frac{1}{-2E_{\bf{p}}}e^{-ip\cdot (x-y)}\bigg|_{p^0=-E_{\bf{p}}}\bigg\}\\
&=&_{x^0>y^0}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\int\frac{dp^0}{2\pi i}\frac{-1}{p^2-m^2} e^{-ip\cdot (x-y)}.
\end{eqnarray}
}
(2.54)

「以上が、(2.54)式の行間の計算の説明です」