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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

クライン‐ゴルドン場の交換関係の変形2

「一方、 x^0 < y^0の場合は、全体の積分経路Cは、下図のように反時計回りになります」

f:id:Dreistein:20150628084740p:plain

「このとき、積分経路Cは、極値 z=E_{\bf{p}}を内部に含まないため、積分の値はゼロになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\langle 0\mid [\phi(x), \phi(y)]\mid 0\rangle&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\big(e^{-ip\cdot (x-y)}-e^{ip\cdot (x-y)}\big)\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} \bigg\{\frac{1}{2E_{\bf{p}}}e^{-ip\cdot (x-y)}\bigg|_{p^0=E_{\bf{p}}}\\
&&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\frac{1}{-2E_{\bf{p}}}e^{-ip\cdot (x-y)}\bigg|_{p^0=-E_{\bf{p}}}\bigg\}\\
&=&_{x^0>y^0}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\int\frac{dp^0}{2\pi i}\frac{-1}{p^2-m^2} e^{-ip\cdot (x-y)}.
\end{eqnarray}
}
(2.54)

「それゆえ、(2.54)式の最後の行は、極 z=\pm E_{\bf{p}}のまわりを回る積分を表すとともに、 D_R(x-y)のように表すこともあります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
D_R(x-y)\equiv \theta(x^0-y^0)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle.
\end{eqnarray}
}
(2.55)

「ここで、 \theta(x)は、階段関数(step function)と呼ばれる関数であり、 x\ge0のとき1、 x<0のとき0となる関数です」

階段関数(step function)
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
  \theta(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
    1 & (x\ge1) \\
    0 & (x<0)
  \end{array} \right.
\end{eqnarray}
}