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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

クライン‐ゴルドン場の交換関係の変形3


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
D_R(x-y)\equiv \theta(x^0-y^0)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle.
\end{eqnarray}
}
(2.55)

「ここで、(2.55)式の量を理解するために、 (\partial^2+m^2)D_R(x-y)を計算してみましょう。ちなみに、この計算は、 D_R(x-y)に(2.7)式のクライン‐ゴルドン方程式の演算子 (\partial^\mu\partial_\mu+m^2)を作用させるのと同じ計算です」

クライン‐ゴルドン方程式
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\bigg(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+m^2\bigg)\phi=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,  \textrm{or} \,\,\, \,\,\,\,\,\,  (\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\phi=0
\end{eqnarray}
}
(2.7)

「最初に、(2.55)式に基づいて、 \partial^\mu D_R(x-y)を計算してみます。微分公式 \partial^\mu(fg)=(\partial^\mu f)g+f(\partial^\mu g)を用いると、次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\partial^\mu D_R(x-y)&=&\partial^\mu\theta(x^0-y^0)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle+\theta(x^0-y^0)\partial^\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle
\end{eqnarray}
}

「上式をさらに \partial_\mu微分します。上式の各項に微分公式 \partial^\mu(fg)=(\partial^\mu f)g+f(\partial^\mu g)を適用すると、次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\partial^\mu\partial_\mu D_R(x-y)&=&\big(\partial^\mu\partial_\mu\theta(x^0-y^0)\big)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\
&+&\big(\partial^\mu\theta(x^0-y^0)\big)\big(\partial_\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\big)\\
&+&\big(\partial_\mu\theta(x^0-y^0)\big)\big(\partial^\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\big)\\
&+&\theta(x^0-y^0)\big(\partial^\mu\partial_\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\big)\\
&=&\big(\partial^\mu\partial_\mu\theta(x^0-y^0)\big)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\
&+&2\big(\partial^\mu\theta(x^0-y^0)\big)\big(\partial_\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\big)\\
&+&\theta(x^0-y^0)\partial^\mu\partial_\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle
\end{eqnarray}
}

「一方、(2.55)式から m^2 D_R(x-y)は次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
m^2 D_R(x-y)
&=&\theta(x^0-y^0)m^2\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle
\end{eqnarray}
}

「最後に、上の \partial^\mu\partial_\mu D_R(x-y)の式と m^2 D_R(x-y)の式を足し合わせると、 (\partial^2+m^2)D_R(x-y)は次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
(\partial^\mu\partial_\mu+m^2) D_R(x-y)
&=&\big(\partial^\mu\partial_\mu\theta(x^0-y^0)\big)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\
&+&2\big(\partial^\mu\theta(x^0-y^0)\big)\big(\partial_\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\big)\\
&+&\theta(x^0-y^0)(\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle
\end{eqnarray}
}