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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

クライン‐ゴルドン場の交換関係の変形4


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
(\partial^\mu\partial_\mu+m^2) D_R(x-y)
&=&\big(\partial^\mu\partial_\mu\theta(x^0-y^0)\big)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\
&+&2\big(\partial^\mu\theta(x^0-y^0)\big)\big(\partial_\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\big)\\
&+&\theta(x^0-y^0)(\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle
\end{eqnarray}
}

「ここで、上の3行目の式は、 \langle0\mid(\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\phi(x)\phi(y)-(\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\phi(y)\phi(x)\mid0\rangleの形を有するため、クライン‐ゴルドン方程式の関係からゼロになることがわかります」

クライン‐ゴルドン方程式
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\bigg(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+m^2\bigg)\phi=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,  \textrm{or} \,\,\, \,\,\,\,\,\,  (\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\phi=0
\end{eqnarray}
}
(2.7)

「それゆえ、 \partial^\mu\partial_\mu D_R(x-y)は次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\partial^\mu\partial_\mu D_R(x-y)
&=&\big(\partial^\mu\partial_\mu\theta(x^0-y^0)\big)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\
&+&2\big(\partial^\mu\theta(x^0-y^0)\big)\big(\partial_\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\big)+0
\end{eqnarray}
}

「また、階段関数 \theta(x)微分するとデルタ関数 \delta(x)になります」

階段関数 \theta(x)微分デルタ関数 \delta(x)
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\partial^\mu\theta(x^0-y^0)&=&\delta(x^0-y^0)
\end{eqnarray}
}

「この関係は、微分の逆、すなわちデルタ関数 \delta(x)積分を考えると簡単に理解できます。すなわち、デルタ関数 \delta(x) x=-\inftyから x<0まで積分すると0になるのに対し、 x=0から x=\inftyまで積分すると、1になって階段関数 \theta(x)になるためです」

デルタ関数 \delta(x)
 積分 ↓ ↑ 微分
階段関数 \theta(x)

「一方、上式第2行の \partial_\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangleですが、この計算には、場 \varphi({\bf{x}}, t)微分すると、運動量密度 \pi({\bf{x}}, t)となる、次の(2.47)式の関係式を用います」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi({\bf{x}}, t)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big) \mid_{p^0=E_{\bf{p}}}:\\
\pi({\bf{x}},t)&=&\frac{\partial}{\partial t}\phi({\bf{x}},t).
\end{eqnarray}
}
(2.47)


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\partial_\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle&=&\langle0\mid[\partial_\mu\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\
&=&\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle
\end{eqnarray}
}

「以上をまとめると、 \partial^\mu\partial_\mu D_R(x-y)は次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\partial^\mu\partial_\mu D_R(x-y)
&=&\partial^\mu\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\
&+&2\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle+0
\end{eqnarray}
}