クライン‐ゴルドン場の交換関係の変形4 - スーパーサイエンスガール

${ \displaystyle \begin{eqnarray} (\partial^\mu\partial_\mu+m^2) D_R(x-y) &=&\big(\partial^\mu\partial_\mu\theta(x^0-y^0)\big)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\ &+&2\big(\partial^\mu\theta(x^0-y^0)\big)\big(\partial_\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\big)\\ &+&\theta(x^0-y^0)(\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle \end{eqnarray} }$

「ここで、上の３行目の式は、 $\langle0\mid(\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\phi(x)\phi(y)-(\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\phi(y)\phi(x)\mid0\rangle$ の形を有するため、クライン‐ゴルドン方程式の関係からゼロになることがわかります」

クライン‐ゴルドン方程式
${ \displaystyle \begin{eqnarray} \bigg(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+m^2\bigg)\phi=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\, \textrm{or} \,\,\, \,\,\,\,\,\, (\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\phi=0 \end{eqnarray} }$
(2.7)

「それゆえ、 $\partial^\mu\partial_\mu D_R(x-y)$ は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial^\mu\partial_\mu D_R(x-y) &=&\big(\partial^\mu\partial_\mu\theta(x^0-y^0)\big)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\ &+&2\big(\partial^\mu\theta(x^0-y^0)\big)\big(\partial_\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\big)+0 \end{eqnarray} }$

「また、階段関数 $\theta(x)$ を微分するとデルタ関数 $\delta(x)$ になります」

階段関数 $\theta(x)$ の微分→デルタ関数 $\delta(x)$
${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial^\mu\theta(x^0-y^0)&=&\delta(x^0-y^0) \end{eqnarray} }$

「この関係は、微分の逆、すなわちデルタ関数 $\delta(x)$ の積分を考えると簡単に理解できます。すなわち、デルタ関数 $\delta(x)$ を $x=-\infty$ から $x<0$ まで積分すると0になるのに対し、 $x=0$ から $x=\infty$ まで積分すると、1になって階段関数 $\theta(x)$ になるためです」

デルタ関数 $\delta(x)$
　積分 ↓ ↑ 微分
階段関数 $\theta(x)$

「一方、上式第２行の $\partial_\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle$ ですが、この計算には、場 $\varphi({\bf{x}}, t)$ を微分すると、運動量密度 $\pi({\bf{x}}, t)$ となる、次の(2.47)式の関係式を用います」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}}, t)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big) \mid_{p^0=E_{\bf{p}}}:\\ \pi({\bf{x}},t)&=&\frac{\partial}{\partial t}\phi({\bf{x}},t). \end{eqnarray} }$
(2.47)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle&=&\langle0\mid[\partial_\mu\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\ &=&\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle \end{eqnarray} }$

「以上をまとめると、 $\partial^\mu\partial_\mu D_R(x-y)$ は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial^\mu\partial_\mu D_R(x-y) &=&\partial^\mu\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\ &+&2\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle+0 \end{eqnarray} }$