超関数とは - スーパーサイエンスガール

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial^\mu\partial_\mu D_R(x-y) &=&\big(\partial^\mu\delta(x^0-y^0)\big)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\ &+&2\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle+0 \end{eqnarray} }$

「ここで、上式の１行目の右辺第１項の括弧（）内を計算するため、デルタ関数 $\delta(x^0-y^0)$ の微分 $\partial^\mu\delta(x^0-y^0)$ を計算する必要があります」
「デルタ関数の微分？」
　一宮は腑に落ちないような顔をして首を傾げた。
「でも、それってちょっとおかしくない。デルタ関数は下図のように、 $x=0$ と $x\neq 0$ で不連続なんだから、そもそも微分不可能じゃないの？」

f:id:Dreistein:20150418080340p:plain 」

「たしかに、デルタ関数は不連続なので、通常なら微分を定義することはできません。でも、そんな場合でも、超関数（distribution）による微分の定義を使えば、デルタ関数の微分を計算することができるのです」
「超関数？」
「超関数は、『関数を超えた関数」、すなわち通常の関数を拡張した関数で、次のように定義されます」