デルタ関数の微分計算の一例 - スーパーサイエンスガール

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial^\mu\delta(x)\phi(x)&=&-\delta(x)(\partial^\mu \phi(x)) \end{eqnarray} }$

「デルタ関数 $\delta(x)$ を試験関数 $\phi(x)$ とセットで取り扱うことによって、デルタ関数 $\delta(x)$ の微分の問題を、試験関数 $\phi(x)$ の微分の問題にすり替えることができます」
「ほんとにそんな小手先のテクニックで、デルタ関数の微分を計算できるの？」
　胡散臭そうな目で一宮がいった。

「そう思うのでしたら、論より証拠です。上式において、デルタ関数 $\delta(x)$ を $\delta(x^0-y^0)$ 、試験関数 $\phi(x)$ を $\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle$ として、実際に $\big(\partial^\mu\delta(x^0-y^0)\big)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle$ を計算してみましょう」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \big(\partial^\mu\delta(x^0-y^0)\big)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle&=&-\delta(x^0-y^0)\big(\partial^\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\big)\\ &=&-\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle \end{eqnarray} }$

「なお、上式第１行目から第２行目への変形において、場 $\varphi({\bf{x}}, t)$ を微分すると運動量密度 $\pi({\bf{x}}, t)$ となる、次の(2.47)式の関係式を用いました」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}}, t)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big) \mid_{p^0=E_{\bf{p}}}:\\ \pi({\bf{x}},t)&=&\frac{\partial}{\partial t}\phi({\bf{x}},t). \end{eqnarray} }$
(2.47)

「これから、 $(\partial^2+m^2) D_R(x-y)$ は次のようになることがわかります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} (\partial^2+m^2) D_R(x-y) &=&\big(\partial^\mu\delta(x^0-y^0)\big)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\ &+&2\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle+0\\ &=&-\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\ &+&2\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle+0\\ &=&\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\ \end{eqnarray} }$

「このように、超関数による微分の定義を用いることにより、デルタ関数の微分 $\partial^\mu\delta(x^0-y^0)$ は、試験関数 $\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle$ の微分として処理されるため、不連続なデルタ関数の微分でさえも計算できるようになるのです」