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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

デルタ関数の微分計算の一例


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\partial^\mu\delta(x)\phi(x)&=&-\delta(x)(\partial^\mu \phi(x))
\end{eqnarray}
}

デルタ関数 \delta(x)を試験関数\phi(x)とセットで取り扱うことによって、デルタ関数 \delta(x)微分の問題を、試験関数 \phi(x)微分の問題にすり替えることができます」
「ほんとにそんな小手先のテクニックで、デルタ関数微分を計算できるの?」
 胡散臭そうな目で一宮がいった。

「そう思うのでしたら、論より証拠です。上式において、デルタ関数 \delta(x) \delta(x^0-y^0)、試験関数 \phi(x) \langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangleとして、実際に \big(\partial^\mu\delta(x^0-y^0)\big)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangleを計算してみましょう」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\big(\partial^\mu\delta(x^0-y^0)\big)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle&=&-\delta(x^0-y^0)\big(\partial^\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\big)\\
&=&-\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle
\end{eqnarray}
}

「なお、上式第1行目から第2行目への変形において、場 \varphi({\bf{x}}, t)微分すると運動量密度 \pi({\bf{x}}, t)となる、次の(2.47)式の関係式を用いました」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi({\bf{x}}, t)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big) \mid_{p^0=E_{\bf{p}}}:\\
\pi({\bf{x}},t)&=&\frac{\partial}{\partial t}\phi({\bf{x}},t).
\end{eqnarray}
}
(2.47)

「これから、 (\partial^2+m^2) D_R(x-y)は次のようになることがわかります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
(\partial^2+m^2) D_R(x-y)
&=&\big(\partial^\mu\delta(x^0-y^0)\big)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\
&+&2\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle+0\\
&=&-\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\
&+&2\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle+0\\
&=&\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\
\end{eqnarray}
}

「このように、超関数による微分の定義を用いることにより、デルタ関数微分 \partial^\mu\delta(x^0-y^0)は、試験関数 \langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle微分として処理されるため、不連続なデルタ関数微分でさえも計算できるようになるのです」