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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

クライン‐ゴルドン場の交換関係の変形5

「次に、下の式の交換関係 \langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangleを計算してみましょう」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
(\partial^2+m^2) D_R(x-y)
&=&\big(\partial^\mu\delta(x^0-y^0)\big)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\
&+&2\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle+0\\
&=&-\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\
&+&2\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle+0\\
&=&\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\
\end{eqnarray}
}

「ここで、下の(2.20)式から、交換関係 [\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]=i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}})が成り立ちますが、交換関係の左右の項を入れ替えると符号が入れ替わります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]&=&i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}});\\
[\phi({\bf{x}}), \phi({\bf{y}})]&=&[\pi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]=0.
\end{eqnarray}
}
(2.20)

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[\pi({\bf{y}}), \phi({\bf{x}})]&=&-i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}})
\end{eqnarray}
}

「上式において \bf{x} \bf{y}を入れ替えても一般性は失われず、また、デルタ関数の原点に関する対称性 \delta^{(3)}({\bf{y}}-{\bf{x}})=\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}}))に注意すると、次の関係が成り立つことがわかります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[\pi({\bf{x}}), \phi({\bf{y}})]=-i\delta^{(3)}({\bf{y}}-{\bf{x}})=-i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}})
\end{eqnarray}
}

「この式を (\partial^2+m^2) D_R(x-y)の式に代入すると、次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
(\partial^2+m^2) D_R(x-y)
&=&\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\
&=&-i\delta(x^0-y^0)\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}})\\
&=&-i\delta^{(4)}(x-y).
\end{eqnarray}
}

「ここで、上式の第2行目の\delta(x^0-y^0)は、デルタ関数の時間成分(1次元)を表し、\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}})は、デルタ関数の空間成分(3次元)を表します。それゆえ、これらをまとめて時空間(4次元)で表したものが、 \delta^{(4)}(x-y)となります」


 \delta(x^0-y^0)デルタ関数の時間成分(1次元)
 ×
 \delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}})デルタ関数の空間成分(3次元)
 ↓
 \delta^{(4)}(x-y)デルタ関数の時空間成分(4次元)

「以上をまとめると、次の(2.56)式が導かれます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
(\partial^2+m^2)D_R(x-y)&=&\big(\partial^2\theta(x^0-y^0)\big)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\
&+&2\big(\partial_\mu\theta(x^0-y^0)\big)(\partial^\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle)\\
&+&\theta(x^0-y^0)(\partial^2+m^2)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\
&=&-\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\
&+&2\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle+0\\
&=&-i\delta^{(4)}(x-y).
\end{eqnarray}
}
(2.56)