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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

クライン‐ゴルドン演算子のグリーン関数の運動量表示の関係式の導出


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\langle 0\mid [\phi(x), \phi(y)]\mid 0\rangle&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\big(e^{-ip\cdot (x-y)}-e^{ip\cdot (x-y)}\big)\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} \bigg\{\frac{1}{2E_{\bf{p}}}e^{-ip\cdot (x-y)}\bigg|_{p^0=E_{\bf{p}}}\\
&&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\frac{1}{-2E_{\bf{p}}}e^{-ip\cdot (x-y)}\bigg|_{p^0=-E_{\bf{p}}}\bigg\}\\
&=&_{x^0>y^0}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\int\frac{dp^0}{2\pi i}\frac{-1}{p^2-m^2} e^{-ip\cdot (x-y)}.
\end{eqnarray}
}
(2.54)

「ところで、以前求めた上の(2.54)式ですが、これはフーリエ変換によって導くこともできます。クライン‐ゴルドン演算子グリーン関数の運動量空間における表示\tilde{D}_R(p)フーリエ変換したものを D_R(x-y)とすると、次の(2.57)式のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
D_R(x-y)&=&\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}e^{-ip\cdot (x-y)}\tilde{D}_R(p),
\end{eqnarray}
}
(2.57)

「ここで、 \tilde{D}_R(p)については、次のような代数表現が得られます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
(-p^2+m^2)\tilde{D}_R(p)&=&-i.
\end{eqnarray}
}

「ちょっと、どうしてそんな形にかけるのよ? いきなり省略しすぎじゃないの?」
 一宮がいらついた口調で文句をいった。
「これは、下の(2.56)式の (\partial^2+m^2)D_R(x-y)の関係式から導くことができます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
(\partial^2+m^2)D_R(x-y)&=&\big(\partial^2\theta(x^0-y^0)\big)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\
&+&2\big(\partial_\mu\theta(x^0-y^0)\big)(\partial^\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle)\\
&+&\theta(x^0-y^0)(\partial^2+m^2)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\
&=&-\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\
&+&2\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle+0\\
&=&-i\delta^{(4)}(x-y).
\end{eqnarray}
}
(2.56)


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
(\partial^2+m^2)D_R(x-y)&=&-i\delta^{(4)}(x-y).
\end{eqnarray}
}

「上の式において、 \delta^{(4)}(x-y), \partial^2D_R(x-y)をそれぞれフーリエ変換すると、次のようになります。これらの関係は、実際にフーリエ変換をすることで確かめることができます」


\delta^{(4)}(x-y)\rightarrow1デルタ関数フーリエ変換は1)
 \partial^2 D_R(x-y)\rightarrow(ip)^2\tilde{D}_R(p)=-p^2\tilde{D}_R(p)微分 \partialフーリエ変換 ip

「これらの変換によって (\partial^2+m^2)D_R(x-y)の式を置き換えることによって、 \tilde{D}_R(p)の式を導くことができます」

 (\partial^2+m^2)D_R(x-y)=-i\delta^{(4)}(x-y).
 ↓ フーリエ変換\delta^{(4)}(x-y)\rightarrow1,  \partial^2 D_R(x-y)\rightarrow(ip)^2\tilde{D}_R(p)=-p^2\tilde{D}_R(p)
 (-p^2+m^2)\tilde{D}_R(p)=-i.