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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

p0積分の積分経路の4つのパターン


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
(-p^2+m^2)\tilde{D}_R(p)&=&-i.
\end{eqnarray}
}

「次に、上式を \tilde{D}_R(p)について変形すると、次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\tilde{D}_R(p)=\frac{i}{(p^2-m^2)}.
\end{eqnarray}
}

「このようにして得られた \tilde{D}_R(p)の式をフーリエ変換すると、次の(2.58)式が得られます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
D_R(x-y)&=&\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{i}{p^2-m^2}e^{-ip\cdot(x-y)}.
\end{eqnarray}
}
(2.58)

「(2.58)式のp^0積分は、4つの異なる積分経路によって評価されます。それら4つの積分経路のうち、(2.54)式で用いられているのは1つだけです」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\langle 0\mid [\phi(x), \phi(y)]\mid 0\rangle&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\big(e^{-ip\cdot (x-y)}-e^{ip\cdot (x-y)}\big)\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} \bigg\{\frac{1}{2E_{\bf{p}}}e^{-ip\cdot (x-y)}\bigg|_{p^0=E_{\bf{p}}}\\
&&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\frac{1}{-2E_{\bf{p}}}e^{-ip\cdot (x-y)}\bigg|_{p^0=-E_{\bf{p}}}\bigg\}\\
&=&_{x^0>y^0}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\int\frac{dp^0}{2\pi i}\frac{-1}{p^2-m^2} e^{-ip\cdot (x-y)}.
\end{eqnarray}
}
(2.54)

「ちょっと! 4つの積分経路ってなによ?」
 一宮の質問に、越野さんはしばし考え込んだ。
「2つの極 \pm E_{\bf{p}}の避け方には、以下のような4通りのパターンがあります」

2つの極 \pm E_{\bf{p}}の避け方には、4通りのパターンがある
f:id:Dreistein:20150725075240p:plain

「テキストでいう『4つの積分経路』とは、これらの4通りのパターンに対応する4つの積分経路という意味だと思います。ちなみに、(2.54)式の計算では、一番上の積分経路でp^0積分を行っています」