ファインマン処方の極の計算 - スーパーサイエンスガール

${ \displaystyle \begin{eqnarray} D_F(x-y)&\equiv&\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon}e^{-ip\cdot(x-y)}, \end{eqnarray} }$
(2.59)

「それじゃ、実際に上式の極を計算で確かめてみましょう。極は、上式の分母がゼロとなる条件から求めることができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} p^2-m^2+i\epsilon&=&0 \end{eqnarray} }$

「ここで、４元運動量の内積の定義を用いると、 $p^2$ は次のように変形することができます」

４元運動量の内積
${ \displaystyle \begin{eqnarray} p^2=(p^0)^2-(p^1)^2-(p^2)^2-(p^3)^2=(p^0)^2-{\bf{p}}^2 \end{eqnarray} }$

「それゆえ、極 $p^0$ を求める式は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \big((p^0)^2-{\bf{p}}^2\big)-m^2+i\epsilon&=&0\\ (p^0)^2&=&{\bf{p}}^2+m^2-i\epsilon \end{eqnarray} }$

「また、Einsteinの関係式 $E_{\bf{p}}^2={\bf{p}}^2+m^2$ を用いると、上式は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} (p^0)^2&=&({\bf{p}}^2+m^2)-i\epsilon=E_{\bf{p}}^2-i\epsilon\\ p^0&=&\pm\sqrt{E_{\bf{p}}^2-i\epsilon}\\ &=&\pm E_{\bf{p}}\sqrt{1-\frac{i\epsilon}{E_{\bf{p}}}}\\ &=&\pm E_{\bf{p}}\bigg(1-\frac{i\epsilon}{E_{\bf{p}}}\bigg)^{\frac{1}{2}}\\ &\simeq&\pm E_{\bf{p}}\bigg(1-\frac{i\epsilon}{2E_{\bf{p}}}\bigg)\\ &=&\pm \bigg(E_{\bf{p}}-\frac{i\epsilon}{2}\bigg) \end{eqnarray} }$