古典的な源による粒子生成 - スーパーサイエンスガール

「次に、外部の古典的な源である場 $j(x)$ と結合したクライン‐ゴルドン場を考えてみます。すなわち、次の(2.61)式のような場の方程式を考えてみましょう」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} (\partial^2+m^2)\phi(x)&=&j(x), \end{eqnarray} }$
(2.61)

「ここで、 $j(x)$ は、有限の時間間隔でのみゼロとならない時空間の既知の関数とします。(2.61)式の場の方程式は、(2.62)式のラグランジアンをオイラー・ラグランジュ方程式(2.3)に代入することによって得られます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2+j(x)\phi(x). \end{eqnarray} }$
(2.62)

オイラー・ラグランジュ方程式（場の方程式）
${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\mu\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\bigg)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}&=&0 \end{eqnarray} }$
(2.3)

「 $j(x)$ は、はじめ０であり、スイッチをオンにすると０でない値をとるものとします。このとき、有限の時間の間のみでオンになるため、場の方程式を用いて直接に問題を解決することが簡単になります。 $j(x)$ がオンになる前、 $\phi(x)$ は次の形を有します」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi_0(x)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}). \end{eqnarray} }$

「源である場 $j(x)$ がないとき、上式は、全ての時間での解になります」